İmkansız hala mümkün. Ve bunun açık bir teyidi imkansız Penrose üçgenidir. Geçen yüzyılda keşfedilen bu maddeye hâlâ bilimsel literatürde sıkça rastlanıyor. Kulağa ne kadar şaşırtıcı gelse de, bunu kendiniz bile yapabilirsiniz. Ve bunu yapmak hiç de zor değil. Origami çizmeyi veya birleştirmeyi seven birçok kişi bunu uzun süredir yapabiliyor.
Bu figürün birkaç ismi var. Bazıları buna imkansız bir üçgen diyor, diğerleri ise basitçe bir kabile diyor. Ancak çoğu zaman “Penrose üçgeni” tanımını bulabilirsiniz.
Bu tanımlardan ana imkansız rakamlardan birini anlıyoruz. İsmine bakılırsa gerçekte böyle bir rakam elde etmek imkansızdır. Ancak pratikte bunun hala yapılabileceği kanıtlandı. Bu sadece belli bir noktadan, doğru açıyla baktığınızda alacağı şekildir. Diğer tüm yönlerden bakıldığında rakam oldukça gerçektir. Bir küpün üç kenarını temsil eder. Ve böyle bir tasarım yapmak kolaydır.
Penrose üçgeni 1934 yılında İsveçli sanatçı Oscar Reutersvard tarafından keşfedildi. Şekil bir araya getirilmiş küpler şeklinde sunuldu. Daha sonra sanatçıya "imkansız figürlerin babası" denmeye başlandı.
Belki Reutersvard'ın çizimi çok az biliniyordu. Ancak 1954'te İsveçli matematikçi Roger Penrose imkansız rakamlarla ilgili bir makale yazdı. Bu üçgenin ikinci doğuşuydu. Doğru, bilim adamı bunu daha tanıdık bir biçimde sundu. Küpler yerine kirişler kullandı. Üç kiriş birbirine 90 derecelik bir açıyla bağlandı. Farklı olan ise Reutersvard'ın çizim yaparken paralel perspektif kullanmasıydı. Penrose ise çizimi daha da imkansız hale getiren doğrusal perspektifi kullandı. Böyle bir üçgen 1958'de İngiliz psikoloji dergilerinden birinde yayınlandı.
1961'de sanatçı Maurits Escher (Hollanda) en popüler taşbaskılarından biri olan "Şelale"yi yarattı. İmkansız rakamlarla ilgili bir makalenin yarattığı izlenimle yaratıldı.
1980'lerde İsveç devlet posta pullarında kabileler ve diğer imkansız figürler tasvir ediliyordu. Bu birkaç yıl devam etti.
Geçen yüzyılın sonunda (daha doğrusu 1999'da), Avustralya'da imkansız Penrose üçgenini tasvir eden bir alüminyum heykel yaratıldı. 13 metre yüksekliğe ulaştı. Sadece boyutları daha küçük olan benzer heykeller diğer ülkelerde de bulunmaktadır.
Tahmin edebileceğiniz gibi Penrose üçgeni aslında alışılmış anlamda bir üçgen değil. Bir küpün üç kenarını temsil eder. Ancak belli bir açıdan baktığınızda düzlemde 2 açının tamamen çakışması nedeniyle üçgen yanılsaması elde edersiniz. İzleyiciye en yakın ve en uzak açılar görsel olarak birleştirilir.
Dikkatli olursanız kabilenin bir illüzyondan başka bir şey olmadığını tahmin edebilirsiniz. Bir figürün gerçek görünümü gölgesinden ortaya çıkarılabilir. Bu, köşelerin gerçekte birbirine bağlı olmadığını gösterir. Ve elbette, rakamı alırsanız her şey netleşir.
Penrose üçgenini kendiniz birleştirebilirsiniz. Örneğin kağıt veya kartondan. Ve diyagramlar bu konuda yardımcı olacaktır. Sadece çıktısını alıp birbirine yapıştırmanız yeterli. İnternette iki şema var. Bunlardan biri biraz daha kolay, diğeri daha zor ama daha popüler. Her ikisi de resimlerde gösterilmiştir.
Penrose üçgeni misafirlerin kesinlikle beğeneceği ilginç bir ürün olacaktır. Kesinlikle dikkatlerden kaçmayacaktır. Bunu oluşturmanın ilk adımı diyagramı hazırlamaktır. Yazıcı kullanılarak kağıda (kartona) aktarılır. Ve sonra her şey daha da basit. Sadece çevresini kesmeniz gerekiyor. Diyagram zaten gerekli tüm satırları içermektedir. Daha kalın kağıtla çalışmak daha uygun olacaktır. Diyagram ince kağıda basılmışsa, ancak daha kalın bir şey istiyorsanız, boşluk seçilen malzemeye basitçe uygulanır ve kontur boyunca kesilir. Diyagramın hareket etmesini önlemek için ataşlarla sabitlenebilir.
Daha sonra iş parçasının büküleceği çizgileri belirlemeniz gerekir. Kural olarak diyagramda parçanın bükülmesiyle temsil edilir. Daha sonra yapıştırılması gereken yerleri belirliyoruz. PVA tutkalı ile kaplanmıştır. Parça tek bir şekle bağlanır.
Parça boyanabilir. Veya başlangıçta renkli karton kullanabilirsiniz.
Penrose üçgeni de çizilebilir. Başlamak için bir kağıda basit bir kare çizin. Boyutu önemli değil. Tabanı karenin alt kısmına gelecek şekilde bir üçgen çizilir. Köşelerinin içine küçük dikdörtgenler çizilir. Yalnızca üçgenle ortak olanları bırakarak yanlarının silinmesi gerekecektir. Sonuç, köşeleri kesik bir üçgen olmalıdır.
Üst alt köşenin sol tarafından düz bir çizgi çizilir. Aynı çizgi, ancak biraz daha kısa, sol alt köşeden çizilir. Sağ köşeden gelen üçgenin tabanına paralel bir çizgi çizilir. Bunun sonucunda ikinci bir boyut ortaya çıkıyor.
İkinci prensibine göre üçüncü boyut çizilir. Ancak bu durumda tüm düz çizgiler, şeklin birinci boyutta değil ikinci boyuttaki açılarına dayanmaktadır.
Dmitry Rakov
Gözlerimiz bilemez
nesnelerin doğası.
Bu yüzden onları zorlamayın
mantık yanılgıları.
Titus Lucretius Carus
Yaygın olarak kullanılan "optik yanılsama" ifadesi doğası gereği yanlıştır. Gözler bizi aldatamaz çünkü onlar sadece nesne ile insan beyni arasında bir ara bağlantıdır. Optik yanılsama genellikle gördüklerimiz yüzünden değil, bilinçsizce akıl yürüttüğümüz ve istemsizce yanıldığımız için ortaya çıkar: "zihin dünyaya gözle değil gözle bakabilir."
Optik sanat (op-art) sanatsal hareketinin en görkemli alanlarından biri, imkansız figürlerin tasvirine dayanan imp-art'tır (imkansız sanat). İmkansız nesneler, gerçek üç boyutlu dünyada var olması imkansız olan üç boyutlu yapıları tasvir eden bir düzlem üzerindeki (herhangi bir düzlem iki boyutludur) çizimlerdir. Klasik ve en basit figürlerden biri imkansız üçgendir.
İmkansız bir üçgende her açının kendisi mümkündür ancak onu bir bütün olarak ele aldığımızda bir paradoks ortaya çıkar. Üçgenin kenarları hem izleyiciye doğru hem de izleyiciden uzağa doğru yönlendirilir, dolayısıyla tek tek parçaları gerçek bir üç boyutlu nesne oluşturamaz.
Açıkça söylemek gerekirse beynimiz, düzlem üzerindeki bir çizimi üç boyutlu bir model olarak yorumluyor. Bilinç, görüntünün her noktasının bulunduğu “derinliği” belirler. Gerçek dünya hakkındaki fikirlerimiz bir çelişkiyle, bazı tutarsızlıklarla karşı karşıyadır ve bazı varsayımlarda bulunmak zorundayız:
İnsan bilinci önce bir nesnenin genel bir görüntüsünü oluşturur, ardından tek tek parçalarını inceler. Her açı mekânsal perspektifle uyumludur ancak yeniden bir araya geldiklerinde mekânsal bir paradoks oluştururlar. Üçgenin herhangi bir köşesini kapatırsanız imkansızlık ortadan kalkar.
Mekan kurgusunda hatalarla bin yıl önce bile sanatçılar tarafından karşılaşılmıştı. Ancak imkansız nesneleri inşa eden ve analiz eden ilk kişinin, 1934'te dokuz küpten oluşan ilk imkansız üçgeni çizen İsveçli sanatçı Oscar Reutersvärd olduğu düşünülüyor.
 |
 |
|
|
"Moskova", grafikler (maskara, kalem), 50x70cm, 2003 |
Reuters'ten bağımsız olarak İngiliz matematikçi ve fizikçi Roger Penrose imkansız üçgeni yeniden keşfeder ve 1958'de bir İngiliz psikoloji dergisinde bunun bir görüntüsünü yayınlar. Bu yanılsama "yanlış perspektif"i kullanır. Bazen bu perspektife Çince denir, çünkü çizimin derinliği "belirsiz" olduğunda benzer bir çizim yöntemi Çinli sanatçıların eserlerinde sıklıkla bulunur.
"Üç Salyangoz" çiziminde küçük ve büyük küpler normal izometrik projeksiyonda yönlendirilmemiştir. Küçük küp, ön ve arka tarafta büyük olana bitişiktir; bu, üç boyutlu mantığı takip edersek, bazı kenarlarının büyük olanla aynı boyutlara sahip olduğu anlamına gelir. İlk başta çizim katı bir cismin gerçek bir temsili gibi görünüyor, ancak analiz ilerledikçe bu nesnenin mantıksal çelişkileri ortaya çıkıyor.
"Üç Salyangoz" çizimi, ikinci ünlü imkansız figür olan imkansız küp (kutu) geleneğini sürdürüyor.
 |
 |
|
|
"IQ", grafikler (maskara, kalem), 50x70 cm, 2001 |
"Yukarı ve aşağı", M. Escher |
Tamamen ciddi olmayan “IQ” (zeka bölümü) çiziminde de çeşitli nesnelerin bir kombinasyonu bulunabilir. İlginçtir ki, bazı insanlar zihinleri düz resimleri üç boyutlu nesnelerle özdeşleştiremediği için imkansız nesneleri algılamazlar.
Donald E. Simanek, görsel paradoksları anlamanın, en iyi matematikçilerin, bilim adamlarının ve sanatçıların sahip olduğu yaratıcılığın ayırt edici özelliklerinden biri olduğunu öne sürdü. Paradoksal nesnelerle yapılan pek çok çalışma “entelektüel matematik oyunları” olarak sınıflandırılabilir. Modern bilim dünyanın 7 boyutlu veya 26 boyutlu bir modelinden bahsediyor. Böyle bir dünya ancak matematiksel formüller kullanılarak modellenebilir; insanlar bunu hayal bile edemezler. İmkansız rakamların işe yaradığı yer burasıdır. Felsefi bir bakış açısından, herhangi bir olgunun (sistem analizi, bilim, politika, ekonomi vb.) tüm karmaşık ve açık olmayan ilişkilerde dikkate alınması gerektiğini hatırlatma görevi görürler.
"İmkansız Alfabe" tablosunda çeşitli imkansız (ve mümkün) nesneler sunulmaktadır.
Üçüncü popüler imkansız figür ise Penrose'un yarattığı inanılmaz merdivendir. Onun boyunca sürekli olarak yükselecek (saat yönünün tersine) veya alçalacaksınız (saat yönünde). Penrose'un modeli, M. Escher'in "Yukarı ve Aşağı" ("Artan ve Alçalan") adlı ünlü tablosunun temelini oluşturdu.
Uygulanamayan başka bir nesne grubu daha var. Klasik figür imkansız üç çatallı mızrak veya "şeytanın çatalıdır".
Resmi dikkatlice incelerseniz, üç dişin tek bir tabanda yavaş yavaş ikiye dönüştüğünü ve bunun da çatışmaya yol açtığını fark edeceksiniz. Üstteki ve alttaki diş sayısını karşılaştırıyoruz ve nesnenin imkansız olduğu sonucuna varıyoruz.
İmkansız çizimlerin akıl oyunlarından daha büyük faydası var mı? Bazı hastaneler, imkansız nesnelerin resimlerini kasıtlı olarak asıyor, çünkü onlara bakmak hastaları uzun süre meşgul edebiliyor. Bu tür çizimleri bilet gişelerine, karakollara ve sıra beklemenin bazen sonsuza kadar sürdüğü diğer yerlere asmak mantıklı olacaktır. Çizimler bir çeşit “kronofaj” görevi görebilir; zaman öldürücüler.
İmkansız bir figür, optik yanılsama türlerinden biridir; ilk bakışta sıradan bir üç boyutlu nesnenin izdüşümü gibi görünen bir figür,
Dikkatli bir incelemeyle figürün unsurlarının çelişkili bağlantıları görünür hale gelir. Üç boyutlu uzayda böyle bir figürün varlığının imkansızlığına dair bir yanılsama yaratılıyor.
En ünlü imkansız figürler imkansız üçgen, sonsuz merdiven ve imkansız üç çataldır.
İmkansız Perrose Üçgeni
Reutersvard Yanılsaması (Reutersvard, 1934)
Şekil-zemin organizasyonundaki değişimin, merkezi konumdaki bir “yıldızın” algılanmasını mümkün kıldığına da dikkat edin.
_________
Escher'in imkansız küpü
Aslında gerçek dünyada tüm imkansız figürler var olabilir. Böylece kağıda çizilen tüm nesneler üç boyutlu nesnelerin izdüşümleridir, dolayısıyla bir düzleme yansıtıldığında imkansız görünecek üç boyutlu bir nesne oluşturmak mümkündür. Böyle bir cisme belli bir noktadan bakıldığında imkansızlık da görülecektir ancak başka bir noktadan bakıldığında imkansızlık etkisi kaybolacaktır.
1999 yılında Perth'de (Avustralya) alüminyumdan yapılmış imkansız bir üçgenin 13 metrelik bir heykeli dikildi. Burada imkansız üçgen en genel haliyle, birbirine dik açılarla bağlanan üç ışın şeklinde tasvir edildi.
Şeytan çatalı
Tüm imkansız figürler arasında imkansız üç çatallı mızrak ("şeytanın çatalı") özel bir yere sahiptir. 
Üç çatallı mızrağın sağ tarafını elimizle kapatırsak çok gerçek bir resim göreceğiz - üç yuvarlak diş. Trident'in alt kısmını kapatırsak, gerçek resmi de göreceğiz - iki dikdörtgen diş. Ancak şeklin tamamını bir bütün olarak ele alırsak, üç yuvarlak dişin yavaş yavaş iki dikdörtgen dişe dönüştüğü ortaya çıkıyor.
Böylece bu çizimin ön planı ile arka planının çeliştiğini görebilirsiniz. Yani ön planda olan geriye gider, arka plan (orta diş) öne çıkar. Ön plan ve arka plandaki değişikliğe ek olarak, bu çizimde başka bir etki daha var - üç çatallı mızrağın sağ tarafının düz kenarları solda yuvarlak hale geliyor.
İmkansızlık etkisi, beynimizin şeklin dış hatlarını analiz etmesi ve diş sayısını saymaya çalışması nedeniyle elde edilir. Beyin, resmin sol ve sağ tarafındaki figürdeki diş sayılarını karşılaştırır ve bu da figürün imkansız olduğu hissini doğurur. Şekildeki diş sayısı önemli ölçüde daha fazla olsaydı (örneğin 7 veya 8), bu paradoks daha az belirgin olurdu.
Bazı kitaplar imkansız üç mızrağın gerçek dünyada yeniden yaratılamayan imkansız figürler sınıfına ait olduğunu iddia ediyor. Aslında, bu doğru değil. TÜM imkansız rakamlar gerçek dünyada görülebilir, ancak bunlar yalnızca tek bir bakış açısından imkansız görünecektir.
______________
İmkansız fil
Bir filin kaç bacağı vardır?
Stanford psikoloğu Roger Shepard, imkansız fil resmi için üç uçlu mızrak fikrini kullandı.
______________
Penrose merdiveni(sonsuz merdiven, imkansız merdiven)
Sonsuz Merdiven en ünlü klasik imkansızlıklardan biridir.
Bu, bir yönde hareket ederse (makaledeki resimde saat yönünün tersine) bir kişinin sonsuza kadar yükseleceği ve ters yönde hareket ederse sürekli alçalacağı bir merdiven tasarımıdır.
Başka bir deyişle, bize yukarı veya aşağı giden bir merdiven sunulur, ancak üzerinde yürüyen kişi ne yükselir ne de düşer. Görsel rotasını tamamladıktan sonra kendisini yolun başında bulacaktır. Eğer gerçekten o merdivenlerden çıkmak zorunda kalsaydınız, amaçsızca sonsuz sayıda inip çıkmak zorunda kalırdınız. Buna sonsuz bir Sisifos görevi diyebilirsiniz!
Penrose'lar bu rakamı yayınladıklarından beri basılı olarak diğer imkansız nesnelerden daha sık yer aldı. “Sonsuz Merdiven” oyunlar, bulmacalar, illüzyonlar ile ilgili kitaplarda, psikoloji ve diğer konulardaki ders kitaplarında bulunabilir.
"Yüksel ve Alçal"
"Sonsuz Orman", sanatçı Maurits K. Escher tarafından bu kez 1960 yılında yarattığı büyüleyici taşbaskı "Yükseliş ve İniş" eserinde başarıyla kullanıldı.
Penrose figürünün tüm olasılıklarını yansıtan bu çizimde, çok tanınabilir Sonsuz Merdiven, manastırın çatısına özenle yazılmıştır. Kukuletalı keşişler sürekli olarak saat yönünde ve saat yönünün tersine merdivenlerden yukarı çıkarlar. İmkansız bir yolda birbirlerine doğru gidiyorlar. Ne yukarı ne de aşağı gitmeyi başaramazlar.
Buna göre Sonsuz Merdiven, onu icat eden Penrose'lardan çok, onu yeniden çizen Escher ile ilişkilendirilmeye başlandı.
Kaç tane raf var?
Kapı nerede açık?
Dışa mı yoksa içeriye mi?
Geçmiş ustaların tuvallerinde zaman zaman imkansız figürler ortaya çıktı; örneğin Pieter Bruegel'in (Yaşlı) tablosundaki darağacı böyledir.
"Darağacındaki Saksağan" (1568)
__________
İmkansız Kemer
Jos de Mey, Gent'teki (Belçika) Kraliyet Güzel Sanatlar Akademisi'nde eğitim almış ve ardından 39 yıl boyunca öğrencilere iç tasarım ve renk dersleri vermiş Flaman bir sanatçıdır. 1968'den itibaren odak noktası çizim oldu. İmkansız yapıları dikkatli ve gerçekçi bir şekilde uygulamasıyla tanınır.
En ünlüsü, sanatçı Maurice Escher'in eserlerindeki imkansız figürlerdir. Bu tür çizimleri incelerken, her bir detay oldukça makul görünüyor, ancak çizgiyi izlemeye çalıştığınızda, bu çizginin artık örneğin duvarın dış köşesi değil, iç köşesi olduğu ortaya çıkıyor.
"Görelilik"
Hollandalı sanatçı Escher'in bu taşbaskı ilk kez 1953'te basıldı.
Taşbaskı, gerçeklik yasalarının geçerli olmadığı paradoksal bir dünyayı tasvir ediyor. Üç gerçeklik bir dünyada birleşmiştir, üç yerçekimi kuvveti birbirine dik olarak yönlendirilmiştir.
Mimari bir yapı oluşturulmuş, gerçekler merdivenlerle birleşiyor. Bu dünyada ama gerçekliğin farklı düzlemlerinde yaşayan insanlar için aynı merdiven yukarıya veya aşağıya doğru yönlendirilecektir.
"Şelale"
Hollandalı sanatçı Escher'in bu taşbaskı ilk kez Ekim 1961'de basıldı.
Escher'in bu çalışması bir paradoksu tasvir ediyor: Bir şelaleden düşen su, suyu şelalenin tepesine yönlendiren bir tekerleği hareket ettiriyor. Şelale "imkansız" bir Penrose üçgeni yapısına sahiptir: taş baskı, British Journal of Psychology'deki bir makaleye dayanılarak oluşturulmuştur.
Yapı, birbirinin üzerine dik açılarla istiflenmiş üç çapraz çubuktan oluşur. Taş baskıdaki şelale sürekli hareket eden bir makine gibi çalışıyor. Görünüşe göre her iki kule de aynı; aslında sağdaki sol kulenin bir kat altındadır.
Eh, daha modern çalışmalar :o)
Sonsuz fotoğrafçılık
Şaşırtıcı inşaat alanı
Satranç tahtası
Ne görüyorsunuz: avıyla birlikte kocaman bir karga mı yoksa teknede bir balıkçı mı, balıklar ve ağaçlı bir ada mı?
Rasputin ve Stalin
Gençlik ve yaşlılık
_________________
Asilzade ve Kraliçe
gözetmen
matematik öğretmeni
1.Giriş………………………………………………….……3
2. Tarihsel arka plan……………………………………..…4
3. Ana bölüm…………………………………………………………….7
4. Penrose üçgeninin imkansızlığının kanıtı......9
5. Sonuçlar……………………………………………………………..…………11
6. Edebiyat……………………………………………….…… 12
Uygunluk: Matematik ilkokuldan liseye kadar çalışılan bir konudur. Birçok öğrenci bunu zor, ilgi çekici ve gereksiz buluyor. Ancak ders kitabının sayfalarının ötesine bakarsanız, ek literatürü, matematiksel safsataları ve paradoksları okursanız, matematik fikriniz değişecek ve okul matematik dersinde çalışılandan daha fazlasını çalışma arzunuz olacaktır.
Çalışmanın amacı:
imkansız figürlerin varlığının ufukları genişlettiğini, mekansal hayal gücünü geliştirdiğini ve sadece matematikçiler tarafından değil sanatçılar tarafından da kullanıldığını gösteriyor.
Görevler :
1. Bu konuyla ilgili literatürü inceleyin.
2. İmkansız şekilleri düşünün, imkansız bir üçgenin modelini yapın, düzlemde imkansız bir üçgenin olmadığını kanıtlayın.
3. İmkansız bir üçgenin gelişimini yapın.
4. İmkansız üçgenin görsel sanatlarda kullanımına ilişkin örnekleri düşünün.
giriiş
Tarihsel olarak matematik, görsel sanatlarda, özellikle de üç boyutlu bir sahnenin düz bir tuval veya kağıt parçası üzerinde gerçekçi bir şekilde tasvir edilmesini içeren perspektif resimde önemli bir rol oynamıştır. Modern görüşlere göre matematik ve güzel sanatlar birbirinden çok uzak disiplinlerdir, birincisi analitiktir, ikincisi ise duygusaldır. Matematik çoğu çağdaş sanatta bariz bir rol oynamaz ve aslında birçok sanatçı perspektiften nadiren faydalanır veya hiç faydalanmaz. Ancak matematiğe odaklanan birçok sanatçı var. Görsel sanatların pek çok önemli ismi bu kişilerin önünü açtı.
Genel olarak imkansız şekiller, Möbius şeritleri, distorsiyon veya olağandışı perspektif sistemleri ve fraktallar gibi matematik sanatında çeşitli temaların kullanımına ilişkin herhangi bir kural veya kısıtlama yoktur.
İmkansız rakamların tarihi
İmkansız rakamlar, düzensiz bir kompleks içinde birbirine bağlanan düzenli parçalardan oluşan belirli bir tür matematiksel paradokstur. "İmkansız nesneler" teriminin bir tanımını formüle etmeye çalışsaydık, muhtemelen şuna benzer bir şey olurdu: imkansız bir biçimde bir araya getirilmiş fiziksel olarak mümkün figürler. Ama onlara bakmak, tanımlar yapmak çok daha keyifli.
Mekan kurgusunda hatalarla bin yıl önce bile sanatçılar tarafından karşılaşılmıştı. Ancak 1934'te resim yapan İsveçli sanatçı Oscar Reutersvärd'ın, imkansız nesneleri inşa eden ve analiz eden ilk kişi olduğu kabul ediliyor. dokuz küpten oluşan ilk imkansız üçgen.
Reutersvaerd üçgeni
Reuters'ten bağımsız olarak İngiliz matematikçi ve fizikçi Roger Penrose imkansız üçgeni yeniden keşfeder ve 1958'de bir İngiliz psikoloji dergisinde onun görüntüsünü yayınlar. İllüzyon “yanlış perspektif” kullanıyor. Bazen bu perspektife Çince denir, çünkü çizimin derinliği "belirsiz" olduğunda benzer bir çizim yöntemi Çinli sanatçıların eserlerinde sıklıkla bulunur.
|
|
Escher Şelalesi
1961'de İmkansız Penrose üçgeninden ilham alan Hollandalı M. Escher, ünlü taşbaskı “Şelale”yi yaratıyor. Resimdeki su sonsuz bir şekilde akıyor, su çarkından sonra daha da ileri giderek başlangıç noktasına geri dönüyor. Aslında bu bir sürekli hareket makinesinin görüntüsüdür, ancak bu yapıyı gerçekten inşa etmeye yönelik herhangi bir girişim başarısızlığa mahkumdur.
İmkansız rakamların bir başka örneği, Moskova metrosunun alışılmadık bir diyagramını gösteren “Moskova” çiziminde sunulmaktadır. İlk başta görüntüyü bir bütün olarak algılıyoruz, ancak tek tek çizgileri bakışlarımızla takip ettiğimizde bunların varlığının imkansızlığına ikna oluyoruz.
«
Moskova", grafikler (mürekkep, kalem), 50x70 cm, 2003.
“Üç Salyangoz” çizimi, ikinci ünlü imkansız figür olan imkansız küp (kutu) geleneğini sürdürüyor.
"Üç Salyangoz" İmkansız Küp
Tamamen ciddi olmayan “IQ” (zeka bölümü) çiziminde de çeşitli nesnelerin bir kombinasyonu bulunabilir. İlginçtir ki, bazı insanlar zihinleri düz resimleri üç boyutlu nesnelerle özdeşleştiremediği için imkansız nesneleri algılamazlar.
Donald Simanek, görsel paradoksları anlamanın, en iyi matematikçilerin, bilim adamlarının ve sanatçıların sahip olduğu yaratıcılığın ayırt edici özelliklerinden biri olduğunu öne sürdü. Paradoksal nesnelerle yapılan pek çok çalışma “entelektüel matematik oyunları” olarak sınıflandırılabilir. Modern bilim dünyanın 7 boyutlu veya 26 boyutlu bir modelinden bahsediyor. Böyle bir dünya ancak matematiksel formüller kullanılarak modellenebilir; insanlar bunu hayal bile edemezler. İmkansız rakamların işe yaradığı yer burasıdır.
Üçüncü popüler imkansız figür ise Penrose'un yarattığı inanılmaz merdivendir. Onun boyunca sürekli olarak yükselecek (saat yönünün tersine) veya alçalacaksınız (saat yönünde). Penrose'un modeli M. Escher'in ünlü "Yukarı ve Aşağı" tablosunun temelini oluşturdu İnanılmaz Penrose Merdiveni
İmkansız üç uçlu mızrak
"Şeytan Çatalı"
Uygulanamayan başka bir nesne grubu daha var. Klasik figür imkansız üç çatallı mızrak veya "şeytanın çatalıdır". Resmi dikkatlice incelerseniz, üç dişin tek bir tabanda yavaş yavaş ikiye dönüştüğünü ve bunun da çatışmaya yol açtığını fark edeceksiniz. Üstteki ve alttaki diş sayısını karşılaştırıyoruz ve nesnenin imkansız olduğu sonucuna varıyoruz. Üç çatallı mızrağın üst kısmını elimizle kapatırsak çok gerçek bir resim göreceğiz - üç yuvarlak diş. Trident'in alt kısmını kapatırsak, gerçek resmi de göreceğiz - iki dikdörtgen diş. Ancak şeklin tamamını bir bütün olarak ele alırsak, üç yuvarlak dişin yavaş yavaş iki dikdörtgen dişe dönüştüğü ortaya çıkıyor.
Böylece bu çizimin ön planı ile arka planının çeliştiğini görebilirsiniz. Yani ön planda olan geriye gider, arka plan (orta diş) öne çıkar. Ön plan ve arka plandaki değişime ek olarak, bu çizimde başka bir etki daha var - üç çatallı mızrağın üst kısmının düz kenarları altta yuvarlak hale geliyor.
Ana bölüm.
Üçgen- 3 bitişik parçadan oluşan ve bu parçaların kabul edilemez bağlantıları nedeniyle matematiksel olarak imkansız bir yapı yanılsaması yaratan bir şekil. Bu üç kirişli yapıya farklı adlar da verilmektedir. kare Penroseler
Bu yanılsamanın ardındaki grafik prensip, formülasyonunu bir psikolog ve fizikçi olan oğlu Roger'a borçludur. Penruzov meydanı, karşılıklı olarak 3 dik yönde konumlandırılmış 3 kare çubuktan oluşur; her biri diğerine dik açılarla bağlanıyor, bunların hepsi üç boyutlu uzaya yerleştirilmiş. Penrose meydanının bu izometrik izdüşümünün nasıl çizileceğine dair basit bir tarif:
· Eşkenar üçgenin köşelerini, kenarlara paralel çizgiler boyunca kesin;
· Kesilmiş üçgenin içindeki kenarlara paralellikler çizin;
· Köşeleri tekrar kesin;
· İçeriye tekrar paralellikler çizin;
· Köşelerden birinde olası iki küpten herhangi birinin bulunduğunu hayal edin;
· L şeklinde bir “şey” ile devam edin;
· Bu tasarımı bir daire şeklinde çalıştırın.
· Farklı bir küp seçseydik kare ters yönde “bükülmüş” olurdu .
İmkansız bir üçgenin gelişimi.
Bükülme çizgisi
Kesim çizgisi
İmkansız bir üçgen oluşturmak için hangi unsurlar kullanılır? Daha doğrusu, bize hangi unsurlardan oluşuyor gibi görünüyor (tam olarak öyle görünüyor!)? Tasarım, iki özdeş dikdörtgen çubuğun dik açılarla bağlanmasıyla elde edilen dikdörtgen bir köşeye dayanmaktadır. Bu tür üç köşeye ve dolayısıyla altı adet çubuk gereklidir. Bu köşelerin kapalı bir zincir oluşturması için görsel olarak birbirine belirli bir şekilde “bağlanması” gerekir. Olan şey imkânsız bir üçgendir.
İlk köşeyi yatay düzleme yerleştirin. Kenarlarından birini yukarı doğru yönlendirerek ona ikinci bir köşe ekleyeceğiz. Son olarak bu ikinci köşeye, kenarı orijinal yatay düzleme paralel olacak şekilde üçüncü bir köşe ekliyoruz. Bu durumda birinci ve üçüncü köşelerin iki kenarı paralel olacak ve farklı yönlere yönlendirilecektir.
Şimdi şekle uzayın farklı noktalarından bakmaya çalışalım (ya da gerçek bir tel modeli yapalım). Bir noktadan, diğerinden, üçüncüden nasıl göründüğünü hayal edin... Gözlem noktası değiştiğinde (ya da - ki bu aynı şeydir - yapı uzayda döndürüldüğünde), iki "uç" gibi görünecek. köşelerimizin kenarları birbirine göre hareket ediyor. Bağlanacakları konumu seçmek zor değil (tabii ki yakın köşe bize uzun olandan daha kalın görünecektir).
Ancak kaburgalar arasındaki mesafe, köşelerden yapımıza baktığımız noktaya olan mesafeden çok daha az olursa, o zaman her iki kaburga da bizim için aynı kalınlığa sahip olacak ve bu iki kaburganın aslında bir devamı olduğu fikri ortaya çıkacaktır. Birbirlerinin.
Bu arada yapının aynadaki görüntüsüne aynı anda bakarsak orada kapalı bir devre görmeyeceğiz.
Ve seçilen gözlem noktasından, gerçekleşen mucizeyi kendi gözlerimizle görüyoruz: Üç köşeden oluşan kapalı bir zincir var. Sadece gözlem noktanızı değiştirmeyin ki, bu yanılsama (aslında bu bir yanılsamadır!) çökmesin. Artık görebileceğiniz bir nesneyi çizebilir veya bulunan noktaya bir kamera merceği yerleştirerek imkansız bir nesnenin fotoğrafını çekebilirsiniz.
Bu olguyla ilk ilgilenenler Penrose'lardı. Üç boyutlu uzayı ve üç boyutlu nesneleri iki boyutlu bir düzleme (yani tasarıma) haritalarken ortaya çıkan olasılıklardan yararlandılar ve tasarımın bazı belirsizliklerine dikkat çektiler - üç köşeli açık bir yapı, üç boyutlu olabilir. kapalı devre olarak algılanıyor.
Daha önce de belirtildiği gibi, telden kolaylıkla basit bir model yapılabilir ve bu, prensipte gözlemlenen etkiyi açıklar. Düz bir tel parçası alın ve onu üç eşit parçaya bölün. Daha sonra dış kısımları orta kısım ile dik açı oluşturacak şekilde bükün ve birbirlerine göre 900 derece döndürün. Şimdi bu figürü çevirin ve tek gözünüzle izleyin. Bir noktada kapalı bir tel parçasından oluşmuş gibi görünecek. Masa lambasını açarak masanın üzerine düşen gölgeyi gözlemleyebilirsiniz, bu gölge aynı zamanda figürün uzayda belli bir noktasında üçgene dönüşmektedir.
Ancak bu tasarım özelliği başka bir durumda da gözlemlenebilir. Telden bir halka yapıp onu farklı yönlere yayarsanız, silindirik bir spiralin bir turunu elde edersiniz. Bu döngü elbette açıktır. Ancak onu bir uçağa yansıttığınızda kapalı bir çizgi elde edebilirsiniz.
Bir düzleme yapılan projeksiyondan, bir çizimden üç boyutlu bir figürün belirsiz bir şekilde yeniden oluşturulduğuna bir kez daha ikna olduk. Yani projeksiyon, "imkansız üçgene" yol açan bir miktar belirsizlik, yetersiz ifade içeriyor.
Ve Penrose'ların "imkansız üçgeni"nin, diğer birçok optik yanılsama gibi, mantıksal paradokslar ve kelime oyunlarıyla aynı seviyede olduğunu söyleyebiliriz.
Penrose üçgeninin imkansızlığının kanıtı
Üç boyutlu nesnelerin bir düzlem üzerindeki iki boyutlu görüntüsünün özelliklerini analiz ederek, bu görüntünün özelliklerinin nasıl imkansız bir üçgene yol açtığını anladık.
İmkansız bir üçgenin var olmadığını kanıtlamak son derece kolaydır çünkü açılarının her biri diktir ve bunların toplamı "konumlandırılmış" 1800 yerine 2700'dür.
Üstelik 900'den küçük açılarla birbirine yapıştırılmış imkansız bir üçgeni düşünsek bile, bu durumda imkansız bir üçgenin var olmadığını kanıtlayabiliriz.
Birkaç parçadan oluşan başka bir üçgeni ele alalım. Oluşturduğu parçalar farklı düzenlenirse, tamamen aynı üçgeni elde edersiniz, ancak küçük bir kusurla. Bir kare eksik olacak. Bu nasıl mümkün olabilir? Yoksa hâlâ bir yanılsama mı?
https://pandia.ru/text/80/021/images/image016_2.jpg" alt="İmkansız üçgen" width="298" height="161">!}
İmkansızlığın etkisini arttırmanın bir yolu var mı? Bazı nesneler diğerlerinden daha "imkansız" mıdır? Ve burada insan algısının özellikleri kurtarmaya geliyor. Psikologlar, gözün bir nesneyi (resmi) sol alt köşeden incelemeye başladığını, ardından bakışın sağa, merkeze doğru kaydığını ve resmin sağ alt köşesine düştüğünü bulmuşlardır. Bu gidişat, atalarımızın bir düşmanla karşılaştıklarında önce en tehlikeli sağ ele bakmaları, ardından bakışların sola, yüze ve şekle kaymasından kaynaklanıyor olabilir. Dolayısıyla sanatsal algı, büyük ölçüde resmin kompozisyonunun nasıl oluşturulduğuna bağlı olacaktır. Bu özellik Orta Çağ'da duvar halılarının imalatında açıkça ortaya çıkmıştır: tasarımları orijinalin ayna görüntüsüdür ve duvar halıları ile orijinallerin yarattığı izlenim farklıdır.
Bu özellik, imkansız nesnelerle yaratımlar oluştururken, "imkansızlık derecesini" artırarak veya azaltarak başarıyla kullanılabilir. Ayrıca, bilgisayar teknolojisini kullanarak, biri diğerine göre döndürülen (belki de farklı simetri türleri kullanılarak) çeşitli resimlerden ilginç kompozisyonlar elde etme olasılığı da vardır; bu, izleyicilere nesne hakkında farklı bir izlenim verir ve tasarımın özüne dair daha derin bir anlayış sağlar. veya basit bir mekanizma kullanılarak belirli açılarda döndürülmüş (sürekli veya sarsıntılı) birinden.
Bu yöne çokgen (çokgen) denilebilir. Çizimler birbirine göre döndürülmüş görüntüleri göstermektedir. Kompozisyon şu şekilde oluşturuldu: kağıt üzerinde mürekkep ve kurşun kalemle yapılmış bir çizim tarandı, dijital forma dönüştürüldü ve bir grafik düzenleyicide işlendi. Bir düzenlilik not edilebilir - döndürülen resmin orijinalinden daha büyük bir "imkansızlık derecesi" vardır. Bu kolayca açıklanabilir: Sanatçı, çalışma sürecinde bilinçaltında "doğru" imajı yaratmaya çalışır.
Çeşitli matematiksel şekil ve kanunların kullanımı yukarıdaki örneklerle sınırlı değildir. Verilen tüm şekilleri dikkatlice inceleyerek, bu makalede bahsedilmeyen diğer geometrik cisimleri veya matematik yasalarının görsel yorumlarını keşfedebilirsiniz.
Matematiksel güzel sanatlar günümüzde gelişiyor ve birçok sanatçı Escher'in tarzında ve kendi tarzında resimler yaratıyor. Bu sanatçılar heykel, düz ve üç boyutlu yüzeylerde resim, litografi ve bilgisayar grafikleri gibi çeşitli ortamlarda çalışıyorlar. Ve matematik sanatının en popüler konuları çokyüzlüler, imkansız şekiller, Möbius şeritleri, çarpık perspektif sistemleri ve fraktallar olmaya devam ediyor.
Sonuçlar:
1. Yani imkansız figürleri düşünmek mekansal hayal gücümüzü geliştirir, düzlemden üç boyutlu uzaya “çıkmamıza” yardımcı olur, bu da stereometri çalışmasına yardımcı olur.
2. İmkansız figürlerin modelleri, bir düzlemdeki projeksiyonların dikkate alınmasına yardımcı olur.
3. Matematiksel safsataların ve paradoksların dikkate alınması matematiğe ilgiyi artırır.
Bu çalışmayı gerçekleştirirken
1. İmkansız figürlerin ilk kez nasıl, ne zaman, nerede ve kim tarafından düşünüldüğünü, bu tür figürlerin çok olduğunu, sanatçıların sürekli bu figürleri tasvir etmeye çalıştıklarını öğrendim.
2. Babamla birlikte imkansız bir üçgenin modelini yaptım, düzleme izdüşümünü inceledim ve bu şeklin paradoksunu gördüm.
3. Bu figürleri tasvir eden sanatçıların reprodüksiyonlarının incelenmesi
4. Sınıf arkadaşlarım araştırmamla ilgilendiler.
Gelecekte edindiğim bilgileri matematik derslerinde kullanacağım ve başka paradoksların olup olmadığı da ilgimi çekti.
EDEBİYAT
1. Teknik Bilimler Adayı D. RAKOV İmkansız rakamların tarihi
2. İmkansız rakamlar.- M.: Stroyizdat, 1990.
3. Alekseeva Yanılsamalar · 7 Yorum
4. J. Timothy Unrach. – İnanılmaz rakamlar.
(AST Yayınevi LLC, Astrel Yayınevi LLC, 2002, 168 s.)
5. . - Grafik Sanatları.
(Art-Rodnik, 2001)
6. Douglas Hofstadter. – Gödel, Escher, Bach: bu sonsuz çelenk. (Yayınevi "Bahrakh-M", 2001)
7. A. Konenko – İmkansız rakamların sırları
(Omsk: Levşa, 199)
Birkaç imkansız figür icat edildi: bir merdiven, bir üçgen ve bir x-prong. Bu rakamlar aslında üç boyutlu bir görüntüde oldukça gerçektir. Ancak bir sanatçı hacmi kağıda yansıttığında nesneler imkansız görünür. “Kabile” olarak da adlandırılan üçgen, çaba sarf edildiğinde imkansızın nasıl mümkün olabileceğinin harika bir örneği haline geldi.
Bütün bu figürler güzel yanılsamalardır. İnsan dehasının başarıları, imp art tarzında resim yapan sanatçılar tarafından kullanılmaktadır.
Hiçbir şey imkansız değildir. Bu Penrose üçgeni hakkında söylenebilir. Bu, elemanları bağlanamayan geometrik olarak imkansız bir rakamdır. Sonuçta imkansız üçgen mümkün oldu. İsveçli ressam Oscar Reutersvärd, 1934'te dünyaya küplerden oluşan imkansız üçgeni tanıttı. O. Reutersvard bu görsel yanılsamanın kaşifi olarak kabul ediliyor. Bu olayın şerefine, bu çizim daha sonra bir İsveç posta pulu üzerine basıldı.
Ve 1958'de matematikçi Roger Penrose, bir İngiliz dergisinde imkansız rakamlarla ilgili bir yayın yayınladı. Yanılsamanın bilimsel modelini yaratan oydu. Roger Penrose inanılmaz bir bilim adamıydı. Görelilik teorisinin yanı sıra büyüleyici kuantum teorisi üzerine de araştırmalar yaptı. S. Hawking ile birlikte Wolf Ödülü'ne layık görüldü.
Sanatçı Maurits Escher'in bu makalenin izlenimi altında muhteşem eserini - taşbaskı "Şelale" yi boyadığı biliniyor. Peki Penrose üçgeni yapmak mümkün mü? Mümkünse nasıl yapılır?
Figürün imkansız olduğu düşünülse de kendi ellerinizle Penrose üçgeni yapmak armut bombardımanı kadar kolaydır. Kağıttan yapılabilir. Origami severler kabileyi görmezden gelemediler ve yine de daha önce bir bilim adamının hayal gücünün ötesinde görünen bir şeyi yaratmanın ve ellerinde tutmanın bir yolunu buldular.
Ancak üç boyutlu bir cismin üç dik çizgiden izdüşümüne baktığımızda kendi gözümüze aldanırız. Gözlemci bir üçgen gördüğünü sanıyor ama aslında görmüyor.
Kabile üçgeni, belirtildiği gibi aslında bir üçgen değildir. Penrose üçgeni bir yanılsamadır. Bir nesne yalnızca belirli bir açıda eşkenar üçgene benzer. Ancak doğal haliyle nesne bir küpün 3 yüzüdür. Böyle bir izometrik projeksiyonda düzlemde 2 açı çakışır: izleyiciye en yakın olan ve en uzak olan.
Tabii ki optik illüzyon, bu nesneyi elinize aldığınız anda hızla kendini gösteriyor. Gölge aynı zamanda yanılsamayı da ortaya çıkarır, çünkü kabilenin gölgesi açıların gerçekte çakışmadığını açıkça gösterir.
Kağıttan kendi ellerinizle Penrose üçgeni nasıl yapılır? Bu modelin şeması var mı? Bugün böyle imkansız bir üçgeni katlamak için 2 düzen icat edildi. Temel geometri size bir nesneyi tam olarak nasıl katlayacağınızı anlatır.
Penrose üçgenini kendi ellerinizle katlamak için sadece 10-20 dakika ayırmanız gerekecek. Birkaç kesim için tutkal, makas ve diyagramın basıldığı kağıdı hazırlamanız gerekir.
Böyle bir boşluktan en popüler imkansız üçgen elde edilir. Origami zanaatını yapmak çok zor değil. Bu nedenle geometriye yeni başlayan bir okul çocuğu için bile ilk seferde kesinlikle işe yarayacaktır.
Gördüğünüz gibi çok güzel bir zanaat ortaya çıkıyor. İkinci parça farklı görünüyor ve farklı şekilde katlanıyor, ancak Penrose üçgeninin kendisi aynı görünüyor.
Size uygun 2 boşluktan birini seçin, dosyayı kopyalayın ve yazdırın. Burada biraz daha basit olan ikinci yerleşim modelinin örneğini veriyoruz.
"Tribar" origami boşluğunun kendisi zaten gerekli tüm ipuçlarını içeriyor. Aslında devrenin talimatlarına gerek yoktur. Sadece kalın bir kağıt ortamına indirmek yeterlidir, aksi takdirde çalışması sakıncalı olacak ve şekil çalışmayacaktır. Hemen kartona yazdıramıyorsanız, taslağı yeni malzemeye yapıştırmanız ve çizimi kontur boyunca kesmeniz gerekir. Kolaylık sağlamak için ataçlarla sabitleyebilirsiniz.
Sonra ne yapacağız? Penrose üçgenini kendi ellerinizle adım adım nasıl katlayabilirsiniz? Bu eylem planını takip etmeniz gerekiyor:
Bitmiş model herhangi bir renkte yeniden boyanabilir veya iş için önceden renkli karton alabilirsiniz. Ancak nesne beyaz kağıttan yapılmış olsa bile, oturma odanıza ilk kez giren herkesin böyle bir zanaattan kesinlikle cesareti kırılacaktır.
Penrose üçgeni nasıl çizilir? Herkes origami yapmaktan hoşlanmaz ama birçok insan çizmeyi sever.
Başlamak için herhangi bir boyutta normal bir kare çizin. Daha sonra içine tabanı karenin alt tarafı olan bir üçgen çizilir. Her köşeye, tüm kenarları silinmiş küçük bir dikdörtgen yerleştirilir; Yalnızca üçgene bitişik olan kenarlar kalır. Çizgilerin düz olmasını sağlamak için bu gereklidir. Sonuç, köşeleri kesik bir üçgendir.
Bir sonraki aşama ikinci boyutun görüntüsüdür. Üst alt köşenin sol tarafından kesinlikle düz bir çizgi çizilir. Aynı çizgi sol alt köşeden başlayarak çizilir ve 2. boyutun ilk satırına biraz getirilmez. Ana figürün sağ köşesinden alt kenarına paralel bir çizgi daha çizilir.
Son aşama, üç küçük çizgi daha kullanarak üçüncüyü ikinci boyutun içine çizmektir. Küçük çizgiler ikinci boyutun çizgilerinden başlar ve üç boyutlu bir hacmin görüntüsünü tamamlar.
Aynı benzetmeyi kullanarak başka şekiller de çizebilirsiniz - kare veya altıgen. İllüzyon korunacaktır. Ancak yine de bu rakamlar artık o kadar şaşırtıcı değil. Bu tür çokgenler çok bükülmüş gibi görünüyor. Modern grafikler, ünlü üçgenin daha ilginç versiyonlarını oluşturmayı mümkün kılıyor.
Üçgenin yanı sıra Penrose Merdiveni de dünyaca ünlüdür. Buradaki fikir, gözü kandırarak, bir kişinin saat yönünde hareket ederken sürekli olarak yukarıya doğru, saat yönünün tersine hareket ederken ise aşağıya doğru yükseliyormuş gibi görünmesini sağlamaktır.
Sürekli merdiven en çok M. Escher'in "Yükseliş ve Alçalma" tablosuyla olan ilişkisiyle tanınır. Bir kişinin bu hayali merdivenin 4 katını da yürüdüğünde, her zaman başladığı yere geri dönmesi ilginçtir.
İmkansız blok gibi insan aklını yanıltan bilinen başka nesneler de vardır. Veya kenarları kesişen, aynı yanılsama yasalarına göre yapılmış bir kutu. Ancak tüm bu nesneler, dikkate değer bir bilim adamı olan Roger Penrose'un bir makalesine dayanarak zaten icat edildi.
Matematikçinin adını taşıyan figür onurlandırıldı. Onun adına bir anıt dikildi. 1999 yılında Avustralya'nın şehirlerinden birinde (Perth), 13 metre yüksekliğinde alüminyumdan yapılmış büyük bir Penrose üçgeni kuruldu. Turistler alüminyum devinin yanında fotoğraf çektirmenin keyfini yaşıyor. Ancak fotoğraf için farklı bir açı seçerseniz aldatmaca açıkça ortaya çıkar.
