Применение интегрального исчисления в планировании расходов семьи
Все чаще в социальных и экономических сферах при вычислении степени неравенства в распределении доходов используется математика, а именно, интегральное исчисление. Изучая практическое применение интеграла мы узнаем:
спланировать расходы семьи с использованием интегрального вычисления
интегральное исчисление помогает в экономичных расчетах при планировании доходов и расходов семьи.
инегральное исчисление в социальной и экономических сферах жизни.
Как интеграл и вычисление объема с помощью интеграла помогает в прогнозировании объемов потребления электроэнергии?
Печатные издания:
Девиз урока: “Математика – язык, на котором говорят все точные науки” Н.И. Лобачевский
Цель урока: обобщить знания учащихся по теме “Интеграл”, “Применение интеграла”;расширить кругозор, знания о возможном применении интеграла к вычислению различных величин; закрепить навыки использовать интеграл для решения прикладных задач; прививать познавательный интерес к математике, развивать культуру общения и культуру математической речи; уметь учиться выступать перед учащимися и учителями.
Тип урока: повторительно-обобщающий.
Вид урока: урок – защита проекта “Применение интеграла”.
Оборудование: магнитная доска, плакаты “Применение интеграла”, карточки с формулами и заданиями для самостоятельной работы.
План урока:
1. Защита проекта:
2. Решение упражнений.
Учитель: Мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах является определенный интеграл – одно из основных понятий математического анализа. Геометрический смысл интеграла – площадь криволинейной трапеции. Физический смысл интеграла – 1) масса неоднородного стержня с плотностью, 2) перемещение точки, движущейся по прямой со скоростью за промежуток времени.
Учитель: Ребята нашего класса провели большую работу, они подобрали задачи, где применяется определенный интеграл. Им слово.
2 ученик: Свойства интеграла
3 ученик: Применение интеграла (на магнитной доске таблица).
4 ученик: Рассматриваем применение интеграла в математике для вычисления площади фигур.
Площадь всякой плоской фигуры,
рассматриваемая в прямоугольной системе
координат, может быть составлена из площадей
криволинейных трапеций, прилежащих к оси Ох
и
оси Оу.
Площадь криволинейной трапеции,
ограниченной кривой у = f(х),
осью Ох
и
двумя прямыми х=а
и х=b,
где а х b
, f(х) 0
вычисляется по формуле 
см. рис.
Если криволинейная трапеция
прилегает к оси Оу
, то её площадь вычисляется
по формуле 
, см. рис.
При вычислении площадей
фигур могут представиться следующие случаи:
а)Фигура расположена над осью Ох и ограничена
осью Ох, кривой у=f(х) и двумя прямыми х=а и х=b.(См. рис.
) Площадь этой фигуры
находится по формуле 1 или 2. б) Фигура расположена
под осью Ох и ограничена осью Ох, кривой у=f(х) и
двумя прямыми х=а и х=b (см. рис.
).
Площадь находится по формуле 
. в) Фигура расположена над и под
осью Ох и ограничена осью Ох, кривой у=f(х) и двумя
прямыми х=а и х=b(рис.
). г) Площадь
ограничена двумя пересекающимися кривыми у=f(х) и
у = (х) (рис.
)
5 ученик: Решим задачу
х-2у+4=0 и х+у-5+0 и у=0
7 ученик: Интеграл, широко применяющийся в физике. Слово физикам.
Путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью за промежуток времени от до вычисляется по формуле .
Примеры:
1. Скорость движения точки 
м/с. Найти путь, пройденный
точкой за 4-ю секунду.
Решение: согласно условию, . Следовательно,
2. Два тела начали двигаться одновременно из
одной точки в одном направлении по прямой. Первое
тело движется со скоростью 
м/с, второе - со скоростью v =
(4t+5)
м/с. На каком расстоянии друг от друга они
окажутся через 5 с?
Решение: очевидно, что искомая величина есть разность расстояний, пройденных первым и вторым телом за 5 с:
3. Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью и = (39,2-9,8^) м/с. Найти наибольшую высоту подъема тела.
Решение: тело достигнет наибольшей высоты подъема в такой момент времени t, когда v = 0, т.е. 39,2-9,8t = 0, откуда I = 4 с. По формуле (1) на ходим
Работа, произведенная переменной силой f(х) при
перемещении по оси Ох
материальной точки от х
= а
до х=b,
находится по формуле 
При решении
задач на вычисление работы силы часто
используется закон Г у к а: F=kx, (3)
где F
-
сила Н; х
-абсолютное удлинение пружины, м,
вызванное силой F
, а k
-коэффициент
пропорциональности, Н/м.
Пример:
1. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2 м. Сила в 50 Н растягивает пружину на 0,01 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее от 0,22 до 0,32 м?
Решение: используя равенство (3), имеем 50=0,01k, т. е. kК = 5000 Н/м. Находим пределы интегрирования: а = 0,22 - 0,2 = 0,02 (м), b=0,32 - 0,2 = 0,12(м). Теперь по формуле (2) получим
Задача. Цилиндрическая цистерна с радиусом основания 0,5 м и высотой 2 м заполнена водой. Вычислить работу, которую необходимо произвести, чтобы выкачать воду из цистерны.
Решение: выделим на глубине х горизонтальный слой высотой dх (рис. ). Работа А, которую надо произвести, чтобы поднять слой воды весом Р на высоту х, равна Рх.
Изменение глубины х на малую величину dх вызовет изменение объема V на величину dV = пr 2 dх и изменение веса Р на величину * dР = 9807 r 2 dх; при этом совершаемая работа А изменится на величину dА=9807пr 2 хdх. Проинтегрировав это равенство при изменении x от 0 до Н, получим
Значение силы Р давления жидкости на горизонтальную площадку зависит от глубины погружения х этой площадки, т. е. от расстояния площадки до поверхности жидкости.
Сила давления (Н) на горизонтальную площадку вычисляется по формуле Р =9807 S x,
где - плотность жидкости, кг/м 3 ; S - площадь площадки, м 2 ; х - глубина погружения площадки, м.
Если площадка, испытывающая давление жидкости, не горизонтальна, то давление на нее различно на разных глубинах, следовательно, сила давления на площадку есть функция глубины ее погружения Р (х).
Пусть плоская кривая АВ
(рис.)
задана уравнением у =f(x) (a
x
b),
причем f(x)
и f ?(x)
- непрерывные функции в промежутке [а,b]. Тогда
дифференциал dl
длины дуги АВ
выражается
формулой
или , а
длина дуги АВ
вычисляется по формуле (4)
где а и b-значения независимой
переменной х
в точках А и В. Если кривая
задана уравнением х =
(у)(с у
d),
то длина дуги АВ вычисляется по
формуле 
(5) где с
и д
значения независимой переменной у
в
точках А
и В.
При нахождении центра масс пользуются следующими правилами:
1) Координата х? центра масс системы материальных точек А 1 , А 2 ,..., А n с массами m 1 , m 2 , ..., m n , расположенных на прямой в точках с координатами х 1 , х 2 , ..., х n , находятся по формуле
(*);
2) При вычислении координаты центра масс можно
любую часть фигуры заменить на материальную
точку, поместив ее в центр масс этой части, и
приписать ей массу, равную массе рассматриваемой
части фигуры. Пример. Пусть вдоль стержня-отрезка
[а;b] оси Ох - распределена масса плотностью (х), где (х) -
непрерывная функция. Покажем, что
а)
суммарная масса М стержня равна ; б) координата центра
масс х"
равна 
.
Разобьем отрезок [а; b] на n равных
частей точками а= х 0 < х 1 < х 2 <
... <х n = b (рис.
). На каждом
из n этих отрезков плотность можно считать при
больших n постоянно и примерно равной (х k - 1)
на k-м отрезке (в силу непрерывности (х). Тогда масса k-ого
отрезка примерно равна 
а масса всего стержня равна
Сведения из истории появления производной:Лозунгом многих математиков XVII в. был: «Двигайтесь вперёд, и вера в правильность результатов к вам
придёт».
Термин «производная» - (франц. deriveе - позади, за) ввёл в 1797 г. Ж. Лагранж. Он же ввёл
современные обозначения y " , f ‘.
обозначение lim –сокращение латинского слова limes (межа, граница). Термин «предел» ввёл И. Ньютон.
И. Ньютон называл производную флюксией, а саму функцию - флюентой.
Г. Лейбниц говорил о дифференциальном отношении и обозначал производную так:
Лагранж Жозеф Луи (1736-1813)
французский математик и механик
