Проще говоря, это уравнения, в которых есть хотя бы одна с переменной в знаменателе.
Например:
\(\frac{9x^2-1}{3x}\)
\(=0\)
\(\frac{1}{2x}+\frac{x}{x+1}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{6}{x+1}=\frac{x^2-5x}{x+1}\)
Пример не дробно-рациональных уравнений:
\(\frac{9x^2-1}{3}\)
\(=0\)
\(\frac{x}{2}\)
\(+8x^2=6\)
Главное, что надо запомнить про дробно-рациональные уравнения – в них надо писать . И после нахождения корней – обязательно проверять их на допустимость. Иначе могут появиться посторонние корни, и все решение будет считаться неверным.
Алгоритм решения дробно-рационального уравнения:
Выпишите и «решите» ОДЗ.
Умножьте каждый член уравнения на общий знаменатель и сократите полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.
Запишите уравнение, не раскрывая скобок.
Решите полученное уравнение.
Проверьте найденные корни с ОДЗ.
Запишите в ответ корни, которые прошли проверку в п.7.
Алгоритм не заучивайте, 3-5 решенных уравнений – и он запомнится сам.
Пример . Решите дробно-рациональное уравнение \(\frac{x}{x-2} - \frac{7}{x+2}=\frac{8}{x^2-4}\)
Решение:
Ответ: \(3\).
Пример . Найдите корни дробно-рационального уравнения \(=0\)
Решение:
|
\(\frac{x}{x+2} + \frac{x+1}{x+5}-\frac{7-x}{x^2+7x+10}\) \(=0\) ОДЗ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) |
Записываем и «решаем» ОДЗ. Раскладываем \(x^2+7x+10\) на по формуле: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). |
|
|
\(\frac{x}{x+2} + \frac{x+1}{x+5}-\frac{7-x}{(x+2)(x+5)}\)
\(=0\) |
Очевидно, общий знаменатель дробей: \((x+2)(x+5)\). Умножаем на него всё уравнение. |
|
|
\(\frac{x(x+2)(x+5)}{x+2} + \frac{(x+1)(x+2)(x+5)}{x+5}-\) |
Сокращаем дроби |
|
|
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\) |
Раскрываем скобки |
|
|
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\) |
|
Приводим подобные слагаемые |
|
\(2x^2+9x-5=0\) |
|
Находим корни уравнения |
|
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac{1}{2}.\) |
|
Один из корней не подходи под ОДЗ, поэтому в ответ записываем только второй корень. |
Ответ: \(\frac{1}{2}\).
Решение уравнений с дробями
рассмотрим на примерах. Примеры простые и показательные. С их помощью вы наиболее понятным образом сможете усвоить, .
Например, требуется решить простое уравнение x/b + c = d.
Уравнения такого типа называется линейным, т.к. в знаменателе находятся только числа.
Решение выполняется путем умножения обоих частей уравнения на b, тогда уравнение принимает вид x = b*(d – c), т.е. знаменатель дроби в левой части сокращается.
Например, как решить дробное уравнение:
x/5+4=9
Умножаем обе части на 5. Получаем:
х+20=45
x=45-20=25
Другой пример, когда неизвестное находится в знаменателе:
Уравнения такого типа называются дробно-рациональными или просто дробными.
Решать дробное уравнение бы будем путем избавления от дробей, после чего это уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное, которое решается обычным способом. Следует только учесть следующие моменты:
Здесь вступает в силу такое понятие, как область допустимых значений (ОДЗ) – это такие значения корней уравнения, при которых уравнение имеет смысл.
Таким образом решая уравнение, необходимо найти корни, после чего проверить их на соответствие ОДЗ. Те корни, которые не соответствуют нашей ОДЗ, из ответа исключаются.
Например, требуется решить дробное уравнение:
Исходя из вышеуказанного правила х не может быть = 0, т.е. ОДЗ в данном случае: х – любое значение, отличное от нуля.
Избавляемся от знаменателя путем умножения всех членов уравнения на х
И решаем обычное уравнение
5x – 2х = 1
3x = 1
х = 1/3
Ответ: х = 1/3
Решим уравнение посложнее:
Здесь также присутствует ОДЗ: х -2.
Решая это уравнение, мы не станем переносить все в одну сторону и приводить дроби к общему знаменателю. Мы сразу умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит сразу все знаменатели.
Для сокращения знаменателей требуется левую часть умножить на х+2, а правую - на 2. Значит, обе части уравнения надо умножать на 2(х+2):
Это самое обычное умножение дробей, которое мы уже рассмотрели выше
Запишем это же уравнение, но несколько по-другому
Левая часть сокращается на (х+2), а правая на 2. После сокращения получаем обычное линейное уравнение:
х = 4 – 2 = 2, что соответствует нашей ОДЗ
Ответ: х = 2.
Решение уравнений с дробями не так сложно, как может показаться. В этой статье мы на примерах это показали. Если у вас возникли какие то трудности с тем, как решать уравнения с дробями , то отписывайтесь в комментариях.
Т. Косякова,
школа N№ 80, г. Краснодар
Тема урока:
Цель урока: формировать умение решать дробно-рациональные уравнения, содержащие параметры.
Тип урока: введение нового материала.
1. (Устно.) Решите уравнения:
Пример 1
. Решите уравнение 
Решение. 
Найдем недопустимые значения a
: 
Ответ. Если 
если a
= – 19
, то корней нет.
Пример 2
. Решите уравнение 
Решение.
Найдем недопустимые значения параметра a :
10 – a = 5, a = 5;
10 – a = a , a = 5.
Ответ. Если a = 5 a № 5 , то x=10–a .
Пример 3
. При каких значениях
параметра b
уравнение 
имеет:
а) два корня; б) единственный корень?
Решение.
1) Найдем недопустимые значения параметра b :
x = b
, b
2 (b
2
– 1) – 2b
3 + b
2 = 0, b
4
– 2b
3 = 0,
b
= 0 или b
= 2;
x = 2, 4(b
2 – 1) – 4b
2 + b
2
= 0, b
2 – 4 = 0, (b
– 2)(b
+ 2) = 0,
b
= 2 или b
= – 2.
2) Решим уравнение x 2 (b 2 – 1) – 2b 2 x + b 2 = 0:
D = 4b 4 – 4b 2 (b 2 – 1), D = 4b 2 .
а) 
Исключая недопустимые значения параметра b , получаем, что уравнение имеет два корня, если b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .
б) 4b 2 = 0, b = 0, но это недопустимое значение параметра b ; если b 2 –1=0 , т. е. b =1 или.
Ответ: а) если b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , то два корня; б) если b =1 или b=–1 , то единственный корень.
Вариант 1
Решите уравнения:
Вариант 2
Решите уравнения:
Ответы
В-1
. а) Если a
=3
, то
корней нет; если 
б) если
если a
№
2
,
то корней нет.
В-2.
Если a
=2
, то
корней нет; если a
=0
, то корней
нет; если 
б) если a
=– 1
, то уравнение
теряет смысл; если то корней нет;
если
Задание на дом.
Решите уравнения:
Ответы: а) Если a № –2 , то x=a ; если a =–2 , то решений нет; б) если a № –2 , то x=2 ; если a =–2 , то решений нет; в) если a =–2 , то x – любое число, кроме 3 ; если a № –2 , то x=2 ; г) если a =–8 , то корней нет; если a =2 , то корней нет; если
Тема урока: «Решение дробно-рациональных уравнений, содержащих параметры».
Цели урока:
обучение решению уравнений с нестандартным условием;
сознательное усвоение учащимися алгебраических понятий и связей между ними.
Тип урока: систематизации и обобщения.
Проверка домашнего задания.
Пример 1
. Решите уравнение 
а) относительно x; б) относительно y.
Решение.
а) Найдем недопустимые значения y : y=0, x=y, y 2 =y 2 –2y ,
y=0 – недопустимое значение параметра y .
Если y № 0 , то x=y–2 ; если y=0 , то уравнение теряет смысл.
б) Найдем недопустимые значения параметра x : y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0 – недопустимое значение параметра x ; y(2+x–y)=0, y=0 или y=2+x;
y=0 не удовлетворяет условию y(y–x) № 0 .
Ответ: а) если y=0 , то уравнение теряет смысл; если y № 0 , то x=y–2 ; б) если x=0 x № 0 , то y=2+x .
Пример 2
. При каких целых значениях
параметра a корни уравнения 
принадлежат промежутку 
D = (3a + 2) 2 – 4a (a + 1)·2 = 9a 2 + 12a + 4 – 8a 2 – 8a ,
D = (a + 2) 2 .
Если a № 0 или a № – 1 , то
Ответ: 5 .
Пример 3
. Найдите относительно x
целые решения уравнения 
Ответ. Если y=0 , то уравнение не имеет смысла; если y=–1 , то x – любое целое число, кроме нуля; если y№ 0, y№ – 1 , то решений нет.
Пример 4.
Решите уравнение 
с параметрами a
и b
.
Если a
№
– b
,
то 
Ответ. Если a= 0 или b= 0 , то уравнение теряет смысл; если a № 0, b № 0, a=–b , то x – любое число, кроме нуля; если a № 0, b № 0, a № –b, то x=–a, x=–b .
Пример 5
. Докажите, что при любом
значении параметра n, отличном от нуля, уравнение 
имеет
единственный корень, равный – n
.
Решение. 
т. е. x=–n , что и требовалось доказать.
Задание на дом.
1. Найдите целые решения уравнения 
2. При каких значениях параметра c
уравнение 
имеет:
а) два корня; б) единственный корень?
3. Найдите все целые корни уравнения 
если a
О
N
.
4. Решите уравнение 3xy – 5x + 5y = 7: а) относительно y ; б) относительно x .
1. Уравнению удовлетворяют любые целые равные
значения x и y, отличные от нуля.
2. а) При
б) при
или 
3. – 12; – 9; 0
.
4. а) Если то
корней нет; если 
б) если то корней нет; если 
Вариант 1
1. Определите тип уравнения 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 при: а) c=–3 ; б) c=2 ; в) c=4 .
2. Решите уравнения: а) x 2 –bx=0 ;
б) cx 2 –6x+1=0
; в)
3. Решите уравнение 3x–xy–2y=1:
а) относительно x ;
б) относительно y .
nx 2 – 26x + n = 0 , зная, что параметр n принимает только целые значения.
5. При каких значениях b уравнение 
имеет:
а) два корня;
б) единственный корень?
Вариант 2
1. Определите тип уравнения 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0 при: а) c=–4 ; б) c=7 ; в) c=1 .
2. Решите уравнения: а) y 2 +cy=0 ;
б) ny 2 –8y+2=0 ;
в) 
3. Решите уравнение 6x–xy+2y=5:
а) относительно x ;
б) относительно y .
4. Найдите целые корни уравнения nx 2 –22x+2n=0 , зная, что параметр n принимает только целые значения.
5. При каких значениях параметра a уравнение 
имеет:
а) два корня;
б) единственный корень?
Ответы
В-1.
1. а) Линейное уравнение;
б) неполное квадратное уравнение; в) квадратное
уравнение.
2. а) Если b=0
, то x=0
;
если b№
0
, то x=0,
x=b
;
б) 
если cО
(9;+Ґ
)
, то
корней нет;
в) если a
=–4
, то
уравнение теряет смысл; если a
№
–4
, то x=–a
.
3. а) Если y=3
, то корней нет; если);
б) a
=–3, a
=1.
Решите уравнения:
1. Голубев В.И., Гольдман А.М., Дорофеев Г.В. О параметрах с самого начала. – Репетитор, № 2/1991, с. 3–13.
2. Гронштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Необходимые условия в задачах с параметрами. – Квант, № 11/1991, с. 44–49.
3. Дорофеев Г.В., Затакавай В.В. Решение задач, содержащих параметры. Ч. 2. – М., Перспектива, 1990, с. 2–38.
4. Тынякин С.А. Пятьсот четырнадцать задач с параметрами. – Волгоград, 1991.
5. Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами. – М., Просвещение, 1986.
"Решение дробных рациональных уравнений"
Цели урока:
Обучающая:
Развивающая:
Воспитывающая:
Тип урока : урок – объяснение нового материала.
Ход урока
1. Организационный момент.
Здравствуйте, ребята! На доске написаны уравнения посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений вы сможете решить? Какие нет и почему?
Уравнения, в которых левая и правя часть, являются дробно-рациональными выражениями, называются дробные рациональные уравнения. Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке? Сформулируйте тему урока. Итак, открываем тетради и записываем тему урока «Решение дробных рациональных уравнений».
2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.
А сейчас мы повторим основной теоретический материл, который понадобиться нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:
1. Что такое уравнение? (Равенство с переменной или переменными .)
2. Как называется уравнение №1? (Линейное .) Способ решения линейных уравнений. (Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа - в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель ).
3. Как называется уравнение №3? (Квадратное. ) Способы решения квадратных уравнений. (Выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему Виета и ее следствия .)
4. Что такое пропорция? (Равенство двух отношений .) Основное свойство пропорции. (Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов .)
5. Какие свойства используются при решении уравнений? (1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному .)
6. Когда дробь равна нулю? (Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю .)
3. Объяснение нового материала.
Решить в тетрадях и на доске уравнение №2.
Ответ : 10.
Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, используя основное свойство пропорции? (№5).
(х-2)(х-4) = (х+2)(х+3)
х2-4х-2х+8 = х2+3х+2х+6
х2-6х-х2-5х = 6-8
Решить в тетрадях и на доске уравнение №4.
Ответ : 1,5.
Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, умножая обе части уравнения на знаменатель? (№6).
D=1›0, х1=3, х2=4.
Ответ : 3;4.
Теперь попытайтесь решить уравнение №7 одним из способов.
(х2-2х-5)х(х-5)=х(х-5)(х+5) |
|
||
(х2-2х-5)х(х-5)-х(х-5)(х+5)=0 | |||
х(х-5)(х2-2х-5-(х+5))=0 | х2-2х-5-х-5=0 |
||
х(х-5)(х2-3х-10)=0 | |||
х=0 х-5=0 х2-3х-10=0 | |||
х1=0 х2=5 D=49 | |||
Ответ : 0;5;-2. | Ответ : 5;-2. |
Объясните, почему так получилось? Почему в одном случае три корня, в другом – два? Какие же числа являются корнями данного дробно-рационального уравнения?
До сих пор учащиеся с понятием посторонний корень не встречались, им действительно очень трудно понять, почему так получилось. Если в классе никто не может дать четкого объяснения этой ситуации, тогда учитель задает наводящие вопросы.
При выполнении проверки некоторые ученики замечают, что приходится делить на нуль. Они делают вывод, что числа 0 и 5 не являются корнями данного уравнения. Возникает вопрос: существует ли способ решения дробных рациональных уравнений, позволяющий исключить данную ошибку? Да, это способ основан на условие равенства дроби нулю.
х2-3х-10=0 , D=49 , х1=5 , х2=-2.
Если х=5, то х(х-5)=0, значит 5- посторонний корень.
Если х=-2, то х(х-5)≠0.
Ответ : -2.
Давайте попробуем сформулировать алгоритм решения дробных рациональных уравнений данным способом. Дети сами формулируют алгоритм.
Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:
1. Перенести все в левую часть.
2. Привести дроби к общему знаменателю.
3. Составить систему: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
4. Решить уравнение.
5. Проверить неравенство, чтобы исключить посторонние корни.
6. Записать ответ.
Обсуждение: как оформить решение, если используется основное свойство пропорции и умножение обеих частей уравнения на общий знаменатель. (Дополнить решение: исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель).
4. Первичное осмысление нового материала.
Работа в парах. Учащиеся выбирают способ решения уравнения самостоятельно в зависимости от вида уравнения. Задания из учебника «Алгебра 8»,2007: № 000(б, в,и); № 000(а, д,ж). Учитель контролирует выполнение задания, отвечает на возникшие вопросы, оказывает помощь слабоуспевающим ученикам. Самопроверка: ответы записаны на доске.
б) 2 – посторонний корень. Ответ:3.
в) 2 – посторонний корень. Ответ: 1,5.
а) Ответ: -12,5.
ж) Ответ: 1;1,5.
5. Постановка домашнего задания.
2. Выучить алгоритм решения дробных рациональных уравнений.
3. Решить в тетрадях № 000(а, г,д); № 000(г, з).
4. Попробовать решить № 000(а)(по желанию).
6. Выполнение контролирующего задания по изученной теме.
Работа выполняется на листочках.
Пример задания:
А) Какие из уравнений являются дробными рациональными?
Б) Дробь равна нулю, когда числитель ______________________ , а знаменатель _______________________ .
В) Является ли число -3 корнем уравнения №6?
Г) Решить уравнение №7.
Критерии оценивания задания:
7. Рефлексия.
На листочках с самостоятельной работой поставьте:
8. Подведение итогов урока.
Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с дробными рациональными уравнениями, научились решать эти уравнения различными способами, проверили свои знания с помощью обучающей самостоятельной работы. Результаты самостоятельной работы вы узнаете на следующем уроке, дома у вас будет возможность закрепить полученные знания.
Какой метод решения дробных рациональных уравнений, по Вашему мнению, является более легким, доступным, рациональным? Не зависимо от метода решения дробных рациональных уравнений, о чем необходимо не забывать? В чем «коварство» дробных рациональных уравнений?
Всем спасибо, урок окончен.
