Макияж. Уход за волосами. Уход за кожей

Лекция 4

Тема: «ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР»

Понятие об игровых моделях

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в ко­торых необходимо принимать решения в условиях неопределен­ности, т.е. возникают ситуации, в которых две (или более) сторо­ны преследуют различные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от мероприятий партнера. Такие ситуа­ции, возникающие при игре в шахматы, шашки, домино и т.д., относятся к конфликтным: результат каждого хода игрока зависит от ответного хода противника, цель игры - выигрыш одного из партнеров. В экономике конфликтные ситуации встречаются очень часто и имеют многообразный характер. К ним относятся, например, взаимоотношения между поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом. Во всех этих при­мерах конфликтная ситуация порождается различием интересов партнеров и стремлением каждого из них принимать оптималь­ные решения, которые реализуют поставленные цели в наиболь­шей степени. При этом каждому приходится считаться не только со своими целями, но и с целями партнера, и учитывать неиз­вестные заранее решения, которые эти партнеры будут прини­мать.

Для грамотного решения задач с конфликтными ситуациями необходимы научно обоснованные методы. Такие методы разра­ботаны математической теорией конфликтных ситуаций, которая носит название теория игр .

Ознакомимся с основными понятиями теории игр. Математи­ческая модель конфликтной ситуации называется игрой , стороны, участвующие в конфликте, - игрокам и, а исход конфликта - выигрышем . Для каждой формализованной игры вводятся правил а, т.е. система условий, определяющая:

1) варианты действий игро­ков;

2) объем информации каждого игрока о поведении партне­ров;

3) выигрыш, к которому приводит каждая совокупность дей­ствий. Как правило, выигрыш (или проигрыш) может быть задан количественно; например, можно оценить проигрыш нулем, вы­игрыш - единицей, а ничью - 1/2.

Игра называется парной , если в ней участвуют два игрока, и множественной , если число игроков больше двух. Мы будем рас­сматривать только парные игры. В них участвуют два игрока А и В, интересы которых противоположны, а под игрой будем пони­мать ряд действий со стороны А и В.

Игра называется игрой с нулевой суммой , или антагонистиче­ско й, если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, т.е. для полного задания игры достаточно указать величину одно­го из них. Если обозначить а - выигрыш одного из игроков, b - выигрыш другого, то для игры с нулевой суммой b = -а , поэтому достаточно рассматривать, например а .

Выбор и осуществление одного из предусмотренных правила­ми действий называется ходом игрока. Ходы могут быть личными и случайными. Личный ход - это сознательный выбор игроком одного из возможных действий (например, ход в шахматной иг­ре). Случайный ход - это случайно выбранное действие (напри­мер, выбор карты из перетасованной колоды). В дальнейшем мы будем рассматривать только личные ходы игроков.

Стратегией игрока называется совокупность правил, опреде­ляющих выбор его действия при каждом личном ходе в зависимо­сти от сложившейся ситуации. Обычно в процессе игры при каж­дом личном ходе игрок делает выбор в зависимости от конкрет­ной ситуации. Однако, в принципе, возможно, что все решения приняты игроком заранее (в ответ на любую сложившуюся ситуа­цию). Это означает, что игрок выбрал определенную стратегию, которая может быть задана в виде списка правил или программы. (Так можно осуществить игру с помощью ЭВМ). Игра называется конечно й, если у каждого игрока имеется конечное число страте­гий, ибесконечной - в противном случае.

Для того чтобы решить игру, или найти решение игры, следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовле­творяет условию оптимальност и, т.е. один из игроков должен получать максимальный выигрыш , когда второй придерживается своей стратегии. В то же время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш , если первый придерживается своей стратегии. Такие стратеги и называются оптимальным. Оптимальные стратегии должны также удовлетворять условию устойчивости , т.е. любому из игроков должно быть невыгодно отказаться от своей стратегии в этой игре.

Если игра повторяется достаточно много раз, то игроков может интересовать не выигрыш и проигрыш в каждой конкретной пар­тии, а средний выигрыш (проигрыш) во всех партиях.

Целью теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока. При выборе оптимальной стратегии естест­венно предполагать, что оба игрока ведут себя разумно с точки зрения своих интересов. Важнейшее ограничение теории игр - единственность выигрыша как показателя эффективности, в то время как в большинстве реальных экономических задач имеется более одного показателя эффективности. Кроме того, в экономи­ке, как правило, возникают задачи, в которых интересы партне­ров не обязательно антагонистические. Развитие аппарата теории игр для решения задач со многими участниками, имеющими не­противоречивые интересы, выходит за рамки лекции.

Платежная матрица.

Нижняя и верхняя цена игры

Рассмотрим парную конечную игру. Пусть игрок А располагает т личными стратегиями, которые обозначим . Пусть у игрока В имеется п личных стратегий, обозначим их . Говорят, что игра имеет размерность т х п . В результате выбора игроками любой пары стратегий и однозначно определяется исход игры, т.е. выигрыш игрока А (положительный или отрицательный) и проигрыш игрока В . Предположим, что значения известны для любой пары страте­гий . Матрица Р=(), i = 1,2, ..., т; j = 1, 2, ..., п , эле­ментами которой являются выигрыши, соответствующие страте­гиям и , называется платежной матрицей или матрицей игры . Общий вид такой матрицы представлен в таблице:

Строки этой таблицы соот­ветствуют стратегиям игрока А , а столбцы - стратегиям игрока В .

Пример .Составить платежную мат­рицу для следующей игры. Игра "поиск".

Игрок А может прятаться в одном из двух убежищ (I и II); игрок В ищет игрока А , и если найдет, то получает штраф 1 ден. ед. от А , в противном слу­чае платит игроку А 1 ден. ед. Необходимо построить платежную матрицу игры.

Решение . Для составления платежной матрицы следует про­анализировать поведение каждого из игроков. Игрок А может спрятаться в убежище I - обозначим эту стратегию через или в убежище II - стратегия .

Игрок В может искать первого игрока в убежище I - стратегия , либо в убежище II - стратегия . Если игрок А находится в убе­жище I и там его обнаруживает игрок В , т.е. осуществляется пара стратегий то игрок А платит штраф, т.е. . Аналогич­но получаем . Очевидно, что стратегии и дают игроку А выигрыш 1, поэтому . Таким образом, для игры "поиск " размера 2х2 получаем платежную матрицу

Рассмотрим игру т п с матрицей , i =1, 2, ..., т ; j =1, 2, ..., п и определим наилучшую среди стратегий . Выбирая стратегию игрок А должен рассчитывать, что игрок В ответит на нее той из стратегий , для которой выигрыш для иг­рока А минимален (игрок В стремится "навредить" игроку А ).

Обозначим через , наименьший выигрыш игрока А при вы­боре им стратегии , для всех возможных стратегий игрока В (наименьшее число в i -и строке платежной матрицы), т.е.

, j =1,…n . (1)

Среди всех чисел выберем наибольшее: . Назовем нижней ценой игры, илимаксимальным выигрышем (максимином). Это гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В . Следовательно,

. (2)

Стратегия, соответствующая максимину, называется максиминной стратегией . Игрок В заинтересован в том, чтобы уменьшить выигрыш игрока А ; выбирая стратегию , он учитывает макси­мально возможный при этом выигрыш для А . Обозначим

Среди всех чисел выберем наименьшее , и назовемверхней ценой игры илиминимаксным выигрышем (минимаксом). Это гарантированный проигрыш игрока В . Следова­тельно,

(4)

Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимакс­ной стратегией.

Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее "осторожных" минимаксной и максиминной стратегий, называется принципом минимакса. Этот принцип следует из разумного предположения, что каждый игрок стремится достичь цели, противоположной цели противника.

Пример. Определить нижнюю и верхнюю цены игры и соответствующие стратегии в игре «Поиск ». Рассмотрим платежную матрицу:

При выборе стратегии (первая строка матрицы) минимальный выигрыш равен и соответству­ет стратегии игрока В . При выборе стратегии (вторая строка матрицы) минимальный выигрыш равен , он достигается при стратегии .

Гарантируя себе максимальный выигрыш при любой стратегии иг­рока В, т.е. нижнюю цену игры , игрок А может выбирать любую стратегию: или , т.е. любая его стратегия является максиминной.

Выбирая стратегию (столбец 1), игрок В понимает, что иг­рок А ответит стратегией , чтобы максимизировать свой выиг­рыш (проигрыш В ). Следовательно, максимальный проигрыш игрока В при выбореим стратегии равен max (-l; 1) = 1.

Аналогично максимальный проигрыш игрока В (выигрыш А ) при выборе им стратегии (столбец 2) равен .

Таким образом, при любой стратегии игрока А гарантирован­ный минимальный проигрыш игрока В равен - верхней цене игры.

Любая стратегия игрока В является минимаксной. Дополнив таблицу строкой и столбцом ,получим новую таблицу:

	-1		-1
		-1	-1
		1

На пе­ресечении дополнительных строки и столбца будем записывать верхнюю и нижнюю цены игр.

Рассмотрим парную конечную игру. Пусть игрок А располагает т личными стратегиями, которые обозначим

Пусть у игрока В имеется п личных стратегий, обозначим их. Говорят, что игра имеет размерность т х п.

В результате выбора игроками любой пары стратегий однозначно определяется исход игры, т.е. выигрыш а ;. игрока А (положительный или отрицательный) и проигрыш (-ау) игрока В. Предположим, что значения а.. известны для любой пары стратегий (А:, В ;.). Матрица Р = (a..), i = = 1, 2, ..., m j = 1, 2, ..., п, элементами которой являются выигрыши, соответствующие стратегиям А. и Bj, называется платежной матрицей, или матрицей игры. Общий вид такой матрицы представлен в табл. 12.1. Строки этой таблицы соответствуют стратегиям игрока А, а столбцы – стратегиям игрока В.

Таблица 12.1

Составим платежную матрицу для следующей игры.

12.1. Игра "поиск".

Игрок А может спрятаться в одном из двух убежищ (I и II); игрок В ищет игрока А, и если найдет, то получает штраф 1 ден. ед. от А, в противном случае платит игроку А 1 ден. ед. Необходимо построить платежную матрицу игры.

Р е ш е н и с. Для составления платежной матрицы следует проанализировать поведение каждого из игроков. Игрок А может спрятаться в убежище I – обозначим эту стратегию через A v либо в убежище II – стратегия А. г Игрок В может искать первого игрока в убежище I – стратегия В { либо в убежище II – стратегия В.,. Если игрок А находится в убежище I и там его обнаруживает игрок В, т.е. осуществляется пара стратегий (Α ν В {), то игрок А платит штраф, т.е. а п = -1. Аналогично получаем а. п = -1 (А 2, В.,). Очевидно, что стратегии (А, В.,) и (Л2, /1,) дают игроку А выигрыш 1, поэтому а п = а. п = I. Таким образом, для игры "поиск" размера 2x2 получаем платежную матрицу:

Рассмотрим игру т х п с матрицей Р =a j}, i = 1,2, ..., τη; j = 1, 2, ..., и и определим наилучшую среди стратегий А у A v ..., А т. Выбирая стратегию A jy игрок А должен рассчитывать, что игрок В ответит на нее той из стратегий В., для которой выигрыш для игрока А минимален (игрок В стремится "навредить" игроку А).

Обозначим через а; наименьший выигрыш игрока А при выборе им стратегии Л; для всех возможных стратегий игрока В (наименьшее число в i-й строке платежной матрицы), т.е.

Среди всех чисел а (г = 1,2,..., т) выберем наибольшее: . Назовем а нижней ценой игры, или максимальным выигрышем (максимином). Это гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В. Следовательно,

(12.2)

Стратегия, соответствующая максимину, называется максиминной стратегией. Игрок В заинтересован в том, чтобы уменьшить выигрыш игрока А; выбирая стратегию В., он учитывает максимально возможный при этом выигрыш для А. Обозначим

Среди всех чисел β. выберем наименьшее,

и назовем β верхней ценой игры , или минимаксным выигрышем (минимаксом). Это гарантированный проигрыш игрока В. Следовательно,

(12.4)

Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимаксной стратегией.

Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее "осторожных" минимаксной и максиминной стратегий, называется принципом минимакса. Этот принцип следует из разумного предположения, что каждый игрок стремится достичь цели, противоположной цели противника. Определим нижнюю и верхнюю цены игры и соответствующие стратегии в задаче 12.1. Рассмотрим платежную матрицу

из задачи 12.1. При выборе стратегии Л, (первая строка матрицы) минимальный выигрыш равен a, =min(-l; 1) = -1 и соответствует стратегии β1 игрока В. При выборе стратегии Л 2 (вторая строка матрицы) минимальный выигрыш равен а 2 = min(l; -1) = -1, он достигается при стратегии В.,.

Гарантируя себе максимальный выигрыш при любой стратегии игрока В , т.е. нижнюю цену игры а = тах(а, а2) = = max(-l; -1) = -1, игрок А может выбирать любую стратегию: Aj или А 2, т.е. любая его стратегия является максиминнои.

Выбирая стратегию В, (столбец 1), игрок В понимает, что игрок А ответит стратегией А 2, чтобы максимизировать свой выигрыш (проигрыш В). Следовательно, максимальный проигрыш игрока В при выборе им стратегии В, равен β, = шах(-1; 1) = 1.

Аналогично максимальный проигрыш игрока В (выигрыш А ) при выборе им стратегии В2 (столбец 2) равен β2 = max(l; -1) = 1.

Таким образом, при любой стратегии игрока А гарантированный минимальный проигрыш игрока В равен β = = πιίη(β1, β2) = min(l; 1) = 1- верхней цене игры.

Любая стратегия игрока В является минимаксной. Дополнив табл. 12.1 строкой β; и столбцом а;, получим табл. 12.2. На пересечении дополнительных строки и столбца будем записывать верхнюю и нижнюю цены игр.

Таблица 12.2

В задаче 12.1, рассмотренной выше, верхняя и нижняя цены игры различны: а Ф β.

Если верхняя и нижняя цены игры совпадают, то общее значение верхней и нижней цены игры α = β = υ называется чистой ценой игры, или ценой игры. Минимаксные стратегии, соответствующие цене игры, являются оптимальными стратегиями, а их совокупность – оптимальным решением, или решением игры. В этом случае игрок А получает максимальный гарантированный (не зависящий от поведения игрока В) выигрыш υ, а игрок В добивается минимального гарантированного (вне зависимости от поведения игрока Л) проигрыша υ. Говорят, что решение игры обладает устойчивостью, т.е. если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то для другого не может быть выгодным отклоняться от своей оптимальной стратегии.

Пара чистых стратегий А. и В.дает оптимальное решение игры тогда и только тогда, когда соответствующий ей элемент гг является одновременно наибольшим в своем столбце и наименьшим в своей строке. Такая ситуация, если она существует, называется седловой точкой (по аналогии с поверхностью седла, которая искривляется вверх в одном направлении и вниз – в другом).

Обозначим А* и В* – пару чистых стратегий, на которых достигается решение игры в задаче с седловой точкой. Введем функцию выигрыша первого игрока на каждой паре стратегий: Р(А :, В -) = а у . Тогда из условия оптимальности в седловой точке выполняется двойное неравенство: P(Aj, В*)<Р(А*, В*)<Р(А", В ), которое справедливо для всех i = 1, 2, ..., m;j = 1, 2, ..., п. Действительно, выбор стратегии А * первым игроком при оптимальной стратегии В" второго игрока максимизирует минимальный возможный выигрыш: Р(А *, B ")> Р(А Г В"), а выбор стратегии B" вторым игроком при оптимальной стратегии первого минимизирует максимальный проигрыш: Р(Д , В*)<Р(А", В).

12.2. Определить нижнюю и верхнюю цену игры, заданной платежной матрицей

Имеет ли игра седловую точку?

Таблица 12. 3

Решение. Все расчеты удобно проводить в таблице, в которую, кроме матрицы Р, введены столбец а; и строка }