Доказательство и вывод формул производной экспоненты (e в степени x) и показательной функции (a в степени x). Примеры вычисления производных от e^2x, e^3x и e^nx. Формулы производных высших порядков.
Производная экспоненты равна самой экспоненте (производная e в степени x равна e в степени x):
(1)
(e x )′
= e x
.
Производная показательной функции с основанием степени a
равна самой функции, умноженной на натуральный логарифм от a
:
(2)
.
Экспонента - это показательная функция, у которой основание степени равно числу e
,
которое является следующим пределом:
.
Здесь может быть как натуральным, так и действительным числом. Далее мы выводим формулу (1) производной экспоненты.
Рассмотрим экспоненту, e
в степени x
:
y = e x
.
Эта функция определена для всех .
Найдем ее производную по переменной x
.
По определению, производная является следующим пределом:
(3)
.
Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим свойствам и правилам. Для этого нам понадобятся следующие факты:
А)
Свойство экспоненты :
(4)
;
Б)
Свойство логарифма :
(5)
;
В)
Непрерывность логарифма и свойство пределов для непрерывной функции:
(6)
.
Здесь - некоторая функция, у которой существует предел и этот предел положителен.
Г)
Значение второго замечательного предела:
(7)
.
Применяем эти факты к нашему пределу (3). Используем свойство (4):
;
.
Сделаем подстановку .
Тогда ;
.
В силу непрерывности экспоненты,
.
Поэтому при ,
.
В результате получаем:
.
Сделаем подстановку .
Тогда .
При ,
.
И мы имеем:
.
Применим свойство логарифма (5):
.
Тогда
.
Применим свойство (6). Поскольку существует положительный предел и логарифм непрерывен, то:
.
Здесь мы также воспользовались вторым замечательным пределом (7). Тогда
.
Тем самым мы получили формулу (1) производной экспоненты.
Теперь выведем формулу (2) производной показательной функции с основанием степени a
.
Мы считаем, что и .
Тогда показательная функция
(8)
Определена для всех .
Преобразуем формулу (8). Для этого воспользуемся свойствами показательной функции
и логарифма
.
;
.
Итак, мы преобразовали формулу (8) к следующему виду:
.
Теперь найдем производные высших порядков. Сначала рассмотрим экспоненту:
(14)
.
(1)
.
Мы видим, что производная от функции (14) равна самой функции (14). Дифференцируя (1), получаем производные второго и третьего порядка:
;
.
Отсюда видно, что производная n-го порядка также равна исходной функции:
.
Теперь рассмотрим показательную функцию с основанием степени a
:
.
Мы нашли ее производную первого порядка:
(15)
.
Дифференцируя (15), получаем производные второго и третьего порядка:
;
.
Мы видим, что каждое дифференцирование приводит к умножению исходной функции на .
Поэтому производная n-го порядка имеет следующий вид:
.
Вывод формулы производной степенной функции (x в степени a). Рассмотрены производные от корней из x. Формула производной степенной функции высшего порядка. Примеры вычисления производных.
Производная от x
в степени a
равна a
,
умноженному на x
в степени a
минус один:
(1)
.
Производная от корня степени n
из x
в степени m
равна:
(2)
.
Рассмотрим степенную функцию от переменной x
с показателем степени a
:
(3)
.
Здесь a
является произвольным действительным числом. Сначала рассмотрим случай .
Чтобы найти производную функции (3), воспользуемся свойствами степенной функции и преобразуем ее к следующему виду:
.
Теперь находим производную, применяя :
;
.
Здесь .
Формула (1) доказана.
Теперь рассмотрим функцию, являющуюся корнем следующего вида:
(4)
.
Чтобы найти производную, преобразуем корень к степенной функции:
.
Сравнивая с формулой (3) мы видим, что
.
Тогда
.
По формуле (1) находим производную:
(1)
;
;
(2)
.
На практике нет необходимости запоминать формулу (2). Гораздо удобнее сначала преобразовать корни к степенным функциям, а затем находить их производные, применяя формулу (1) (см. примеры в конце страницы).
Если ,
то степенная функция определена и при значении переменной x = 0
.
Найдем производную функции (3) при x = 0
.
Для этого воспользуемся определением производной:
.
Подставим x = 0
:
.
При этом под производной мы понимаем правосторонний предел, для которого .
Итак, мы нашли:
.
Отсюда видно, что при ,
.
При ,
.
При ,
.
Этот результат получается и по формуле (1):
(1)
.
Поэтому формула (1) справедлива и при x = 0
.
Снова рассмотрим функцию (3):
(3)
.
При некоторых значениях постоянной a
,
она определена и при отрицательных значениях переменной x
.
А именно, пусть a
будет рациональным числом. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби:
,
где m
и n
- целые числа, не имеющие общего делителя.
Если n
нечетное, то степенная функция определена и при отрицательных значениях переменной x
.
Например, при n = 3
и m = 1
мы имеем кубический корень из x
:
.
Он определен и при отрицательных значениях переменной x
.
Найдем производную степенной функции (3) при и при рациональных значениях постоянной a
,
для которых она определена. Для этого представим x
в следующем виде:
.
Тогда ,
.
Находим производную, вынося постоянную за знак производной и применяя правило дифференцирования сложной функции :
.
Здесь .
Но
.
Поскольку ,
то
.
Тогда
.
То есть формула (1) справедлива и при :
(1)
.
Теперь найдем производные высших порядков от степенной функции
(3)
.
Производную первого порядка мы уже нашли:
.
Вынося постоянную a
за знак производной, находим производную второго порядка:
.
Аналогичным образом находим производные третьего и четвертого порядков:
;
.
Отсюда видно, что производная произвольного n-го порядка
имеет следующий вид:
.
Заметим, что если a
является натуральным числом
, ,
то n
-я производная является постоянной:
.
Тогда все последующие производные равны нулю:
,
при .
Найдите производную функции:
.
Преобразуем корни к степеням:
;
.
Тогда исходная функция приобретает вид:
.
Находим производные степеней:
;
.
Производная постоянной равна нулю:
.
Определение степенно-показательной функции. Вывод формулы для вычисления ее производной. Подробно разобраны примеры вычисления производных степенно-показательных функций.
Степенно-показательная функция
- это функция, имеющая вид степенной функции
y = u v
,
у которой основание u
и показатель степени v
являются некоторыми функциями от переменной x
:
u = u(x)
;
v = v(x)
.
Эту функцию также называют показательно-степенной
или .
Заметим, что степенно-показательную функцию можно представить в показательном виде:
.
Поэтому ее также называют сложной показательной функцией
.
Найдем производную степенно-показательной функции
(2)
,
где и есть функции от переменной .
Для этого логарифмируем уравнение (2), используя свойство логарифма :
.
Дифференцируем по переменной x
:
(3)
.
Применяем правила дифференцирования сложной функции
и произведения
:
;
.
Подставляем в (3):
.
Отсюда
.
Итак, мы нашли производную степенно-показательной функции:
(1)
.
Если показатель степени являются постоянной, то .
Тогда производная равна производной сложной степенной функции:
.
Если основание степени являются постоянной, то .
Тогда производная равна производной сложной показательной функции:
.
Когда и являются функциями от x
,
то производная степенно-показательной функции равна сумме производных сложной степенной и показательной функций
.
Теперь найдем производную степенно-показательной функции
(2)
,
представив ее как сложную показательную функцию:
(4)
.
Дифференцируем произведение:
.
Применяем правило нахождения производной сложной функции:
.
И мы снова получили формулу (1).
Найти производную следующей функции:
.
Вычисляем с помощью логарифмической производной . Логарифмируем исходную функцию:
(П1.1)
.
Из таблицы производных находим:
;
.
По формуле производной произведения имеем:
.
Дифференцируем (П1.1):
.
Поскольку
,
то
.
Найдите производную функции
.
Логарифмируем исходную функцию:
(П2.1)
.
Пояснение
:
Производная показывает скорость изменения значения функции при изменении аргумента. Поскольку число никак не меняется ни при каких условиях - скорость его изменения всегда равна нулю.
2. Производная переменной
равна единице
x´ = 1
Пояснение
:
При каждом приращении аргумента (х) на единицу значение функции (результата вычислений) увеличивается на эту же самую величину. Таким образом, скорость изменения значения функции y = x точно равна скорости изменения значения аргумента.
3. Производная переменной и множителя равна этому множителю
сx´ = с
Пример:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Пояснение
:
В данном случае, при каждом изменении аргумента функции (х
) ее значение (y) растет в с
раз. Таким образом, скорость изменения значения функции по отношению к скорости изменения аргумента точно равно величине с
.
Откуда следует, что
(cx + b)" = c
то есть дифференциал линейной функции y=kx+b равен угловому коэффициенту наклона прямой (k).
5. Производная переменной в степени
равна произведению числа этой степени и переменной в степени, уменьшенной на единицу
(x c)"= cx c-1
, при условии, что x c и сx c-1 ,определены а с ≠ 0
Пример:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Для запоминания формулы
:
Снесите степень переменной "вниз" как множитель, а потом уменьшите саму степень на единицу. Например, для x 2 - двойка оказалась впереди икса, а потом уменьшенная степень (2-1=1) просто дала нам 2х. То же самое произошло для x 3 - тройку "спускаем вниз", уменьшаем ее на единицу и вместо куба имеем квадрат, то есть 3x 2 . Немного "не научно", но очень просто запомнить.
6. Производная дроби
1/х
(1/х)" = - 1 / x 2
Пример:
Поскольку дробь можно представить как возведение в отрицательную степень
(1/x)" = (x -1)" , тогда можно применить формулу из правила 5 таблицы производных
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / х 2
7. Производная дроби
с переменной произвольной степени
в знаменателе
(1 / x c)" =
- c / x c+1
Пример:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3
8. Производная корня
(производная переменной под квадратным корнем)
(√x)" = 1 / (2√x)
или 1/2 х -1/2
Пример:
(√x)" = (х 1/2)" значит можно применить формулу из правила 5
(х 1/2)" = 1/2 х -1/2 = 1 / (2√х)
9. Производная переменной под корнем произвольной степени
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)
Этим видео я начинаю длинную серию уроков, посвященную производным. Этот урок состоит из нескольких частей.
В первую очередь, я расскажу вам, что вообще такое производные и как их считать, но не мудреным академическим языком, а так, как я сам это понимаю и как объясняю своим ученикам. Во-вторых, мы рассмотрим простейшее правило для решения задач, в которых будем искать производные суммы, производные разности и производные степенной функции.
Мы рассмотрим более сложные комбинированные примеры, из которых вы, в частности, узнаете, что подобные задачи, содержащие корни и даже дроби, могут быть решены при использовании формулы производной степенной функции. Кроме того, конечно, будет множество задач и примеров решений самого разного уровня сложности.
Вообще, изначально я собирался записать коротенький 5-минутный ролик, но сами видите, что из этого получилось. Поэтому хватит лирики — приступаем к делу.
Итак, начнем издалека. Много лет назад, когда деревья были зеленее, а жизнь была веселее, математики задумались вот над чем: рассмотрим простую функцию, заданную своим графиком, назовем ее $y=f\left(x \right)$. Разумеется, график существует не сам по себе, поэтому нужно провести оси $x$, а также ось $y$. А теперь давайте выберем любую точку на этом графике, абсолютно любую. Абсциссу назовем ${{x}_{1}}$, ордината, как не трудно догадаться, будет $f\left({{x}_{1}} \right)$.
Рассмотрим на том же графике еще одну точку. Не важно, какую, главное, чтобы она отличалась от первоначальной. У нее, опять же, есть абсцисса, назовем ее ${{x}_{2}}$, а также ордината — $f\left({{x}_{2}} \right)$.
Итак, мы получили две точки: у них разные абсциссы и, следовательно, разные значения функции, хотя последнее — необязательно. А вот что действительно важно, так это что, что из курса планиметрии нам известно: через две точки можно провести прямую и, причем, только одну. Вот давайте ее и проведем.
А теперь проведем через самую первую из них прямую, параллельную оси абсцисс. Получим прямоугольный треугольник. Давайте его обозначим $ABC$, прямой угол $C$. У этого треугольника возникает одно очень интересное свойство: дело в том, что угол$\alpha $, на самом деле, равен углу, под которым пересекается прямая $AB$ с продолжением оси абсцисс. Судите сами:
Что мы можем сказать об $\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$? Ничего конкретного, разве что в треугольнике $ABC$отношение катета $BC$ к катету $AC$ равно тангенсу этого самого угла. Так и запишем:
Разумеется, $AC$ в данном случае легко считается:
Точно также и $BC$:
Другими словами, мы можем записать следующее:
\[\operatorname{tg}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }=\frac{f\left({{x}_{2}} \right)-f\left({{x}_{1}} \right)}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}\]
Теперь, когда мы все это выяснили, давайте вернемся к нашему графику и рассмотрим новую точку $B$. Сотрем старые значения и возьмем и возьмем $B$ где-нибудь поближе к ${{x}_{1}}$. Вновь обозначим ее абсциссу за ${{x}_{2}}$, а ординату — $f\left({{x}_{2}} \right)$.
Вновь рассмотрим наш маленький треугольник $ABC$и $\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$ внутри него. Совершенно очевидно, что это будет уже совсем другой угол, тангенс будет также другим потому, что длины отрезков $AC$ и $BC$ существенно изменились, а формула для тангенса угла нисколько не поменялась — это по-прежнему соотношение между изменением функции и изменением аргумента.
Наконец, продолжаем двигать $B$ все ближе к изначальной точке $A$, в результате треугольник еще уменьшится, а прямая, содержащая отрезок $AB$, все больше будет походить на касательную к графику функции.
В итоге, если продолжать сближение точек, т. е., уменьшать расстояние до нуля, то прямая $AB$, действительно, превратится в касательную к графику в данной точке, а $\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$превратится из обычного элемента треугольника в угол между касательной к графику и положительным направлением оси $Ox$.
И вот тут мы плавно переходим к определению$f$, а именно, производной функции в точке ${{x}_{1}}$ называется тангенс угла $\alpha $ между касательной к графику в точке ${{x}_{1}}$ и положительным направлением оси $Ox$:
\[{f}"\left({{x}_{1}} \right)=\operatorname{tg}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\]
Возвращаясь к нашему графику, следует отметить, что в качестве ${{x}_{1}}$ можно выбрать любую точку на графике. Например, с тем же успехом мы могли снять штрих в точке, показанной на рисунке.
Угол между касательной и положительным направлением оси назовем $\beta $. Соответственно, $f$ в ${{x}_{2}}$ будет равна тангенсу этого угла $\beta $.
\[{f}"\left({{x}_{2}} \right)=tg\text{ }\!\!\beta\!\!\text{ }\]
В каждой точке графика будет своя касательная, а, следовательно, свое значение функции. В каждом из этих случаев помимо точки, в которой мы ищем производную разности или суммы, или производную степенной функции, необходимо взять другую точку, находящуюся на некотором расстоянии от нее, а затем устремить эту точку к исходной и, разумеется, выяснить, как в процессе такого движения будет меняться тангенс угла наклона.
К сожалению, подобное определение нас совершено не устраивает. Все эти формулы, картинки, углы не дают нам ни малейшего представления о том, как считать реальную производную в реальных задачах. Поэтому давайте немного отвлечемся от формального определения и рассмотрим более действенные формулы и приемы, с помощью которых уже можно решать настоящие задачи.
Начнем с самых простых конструкций, а именно, функций вида $y={{x}^{n}}$, т.е. степенных функций. В этом случае мы можем записать следующее: ${y}"=n\cdot {{x}^{n-1}}$. Другими словами, степень, которая стояла в показателе, показывается в множителе спереди, а сам показатель уменьшается на единицу. Например:
\[\begin{align}& y={{x}^{2}} \\& {y}"=2\cdot {{x}^{2-1}}=2x \\\end{align}\]
А вот другой вариант:
\[\begin{align}& y={{x}^{1}} \\& {y}"={{\left(x \right)}^{\prime }}=1\cdot {{x}^{0}}=1\cdot 1=1 \\& {{\left(x \right)}^{\prime }}=1 \\\end{align}\]
Пользуясь этими простыми правилами, давайте попробуем снять штрих следующих примеров:
Итак, мы получаем:
\[{{\left({{x}^{6}} \right)}^{\prime }}=6\cdot {{x}^{5}}=6{{x}^{5}}\]
Теперь решим второе выражение:
\[\begin{align}& f\left(x \right)={{x}^{100}} \\& {{\left({{x}^{100}} \right)}^{\prime }}=100\cdot {{x}^{99}}=100{{x}^{99}} \\\end{align}\]
Разумеется, это были очень простые задачи. Однако реальные задачи более сложные и они не ограничиваются одними лишь степенями функции.
Итак, правило № 1 – если функция представлена в виде других двух, то производная этой суммы равна сумме производных:
\[{{\left(f+g \right)}^{\prime }}={f}"+{g}"\]
Аналогично, производная разности двух функций равна разности производных:
\[{{\left(f-g \right)}^{\prime }}={f}"-{g}"\]
\[{{\left({{x}^{2}}+x \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{2}} \right)}^{\prime }}+{{\left(x \right)}^{\prime }}=2x+1\]
Кроме того, есть еще одно важное правило: если перед некоторой $f$ стоит константа $c$, на которую эта функция умножается, то $f$ всей этой конструкции считается так:
\[{{\left(c\cdot f \right)}^{\prime }}=c\cdot {f}"\]
\[{{\left(3{{x}^{3}} \right)}^{\prime }}=3{{\left({{x}^{3}} \right)}^{\prime }}=3\cdot 3{{x}^{2}}=9{{x}^{2}}\]
Наконец, еще одно очень важное правило: в задачах часто встречается отдельное слагаемое, которое вообще не содержит $x$. Например, мы можем наблюдать это в наших сегодняшних выражениях. Производная константы, т. е., числа, никак не зависящего от $x$, всегда равна нулю, причем совершенно неважно, чему равна константа $c$:
\[{{\left(c \right)}^{\prime }}=0\]
Пример решения:
\[{{\left(1001 \right)}^{\prime }}={{\left(\frac{1}{1000} \right)}^{\prime }}=0\]
Еще раз ключевые моменты:
Давайте посмотрим, как все это работает на реальных примерах. Итак:
Записываем:
\[\begin{align}& {{\left({{x}^{5}}-3{{x}^{2}}+7 \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{5}} \right)}^{\prime }}-{{\left(3{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}+{7}"= \\& =5{{x}^{4}}-3{{\left({{x}^{2}} \right)}^{\prime }}+0=5{{x}^{4}}-6x \\\end{align}\]
В этом примере мы видим и производную суммы, и производную разности. Итого, производная равна $5{{x}^{4}}-6x$.
Переходим ко второй функции:
Записываем решение:
\[\begin{align}& {{\left(3{{x}^{2}}-2x+2 \right)}^{\prime }}={{\left(3{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}-{{\left(2x \right)}^{\prime }}+{2}"= \\& =3{{\left({{x}^{2}} \right)}^{\prime }}-2{x}"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\end{align}\]
Вот мы и нашли ответ.
Переходим к третьей функции — она уже посерьезней:
\[\begin{align}& {{\left(2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+\frac{1}{2}x-5 \right)}^{\prime }}={{\left(2{{x}^{3}} \right)}^{\prime }}-{{\left(3{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}+{{\left(\frac{1}{2}x \right)}^{\prime }}-{5}"= \\& =2{{\left({{x}^{3}} \right)}^{\prime }}-3{{\left({{x}^{2}} \right)}^{\prime }}+\frac{1}{2}\cdot {x}"=2\cdot 3{{x}^{2}}-3\cdot 2x+\frac{1}{2}\cdot 1=6{{x}^{2}}-6x+\frac{1}{2} \\\end{align}\]
Ответ мы нашли.
Переходим к последнему выражению — самому сложному и самому длинному:
Итак, считаем:
\[\begin{align}& {{\left(6{{x}^{7}}-14{{x}^{3}}+4x+5 \right)}^{\prime }}={{\left(6{{x}^{7}} \right)}^{\prime }}-{{\left(14{{x}^{3}} \right)}^{\prime }}+{{\left(4x \right)}^{\prime }}+{5}"= \\& =6\cdot 7\cdot {{x}^{6}}-14\cdot 3{{x}^{2}}+4\cdot 1+0=42{{x}^{6}}-42{{x}^{2}}+4 \\\end{align}\]
Но на этом решение не заканчивается, потому что нас просят не просто снять штрих, а посчитать ее значение в конкретной точке, поэтому подставляем в выражение −1 вместо $x$:
\[{y}"\left(-1 \right)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]
Идем далее и переходим к еще более сложным и интересным примерам. Дело в том, что формула решения степенной производной ${{\left({{x}^{n}} \right)}^{\prime }}=n\cdot {{x}^{n-1}}$ имеет еще более широкую область применения, чем обычно принято считать. С ее помощью можно решать примеры с дробями, корнями и т. д. Именно этим мы сейчас и займемся.
Для начала еще раз запишем формулу, которая поможет нам найти производную степенной функции:
А теперь внимание: до сих пор мы рассматривали в качестве $n$ лишь натуральные числа, однако ничего не мешаем рассмотреть дроби и даже отрицательные числа. Например, мы можем записать следующее:
\[\begin{align}& \sqrt{x}={{x}^{\frac{1}{2}}} \\& {{\left(\sqrt{x} \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{\frac{1}{2}}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2}\cdot {{x}^{-\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}} \\\end{align}\]
Ничего сложного, поэтому посмотрим, как эта формула поможет нам при решении более сложных задач. Итак, пример:
Записываем решение:
\[\begin{align}& \left(\sqrt{x}+\sqrt{x}+\sqrt{x} \right)={{\left(\sqrt{x} \right)}^{\prime }}+{{\left(\sqrt{x} \right)}^{\prime }}+{{\left(\sqrt{x} \right)}^{\prime }} \\& {{\left(\sqrt{x} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{x}} \\& {{\left(\sqrt{x} \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{3}\cdot {{x}^{-\frac{2}{3}}}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}}} \\& {{\left(\sqrt{x} \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{\frac{1}{4}}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{4}{{x}^{-\frac{3}{4}}}=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{\sqrt{{{x}^{3}}}} \\\end{align}\]
Возвращаемся к нашему примеру и записываем:
\[{y}"=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{3\sqrt{{{x}^{2}}}}+\frac{1}{4\sqrt{{{x}^{3}}}}\]
Вот такое сложное решение.
Переходим ко второму примеру — здесь всего два слагаемых, но каждое из них содержит как классическую степень, так и корни.
Сейчас мы узнаем, как найти производную степенной функции, которая, кроме того, содержит и корень:
\[\begin{align}& {{\left({{x}^{3}}\sqrt{{{x}^{2}}}+{{x}^{7}}\sqrt{x} \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{3}}\cdot \sqrt{{{x}^{2}}} \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{3}}\cdot {{x}^{\frac{2}{3}}} \right)}^{\prime }}= \\& ={{\left({{x}^{3+\frac{2}{3}}} \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{\frac{11}{3}}} \right)}^{\prime }}=\frac{11}{3}\cdot {{x}^{\frac{8}{3}}}=\frac{11}{3}\cdot {{x}^{2\frac{2}{3}}}=\frac{11}{3}\cdot {{x}^{2}}\cdot \sqrt{{{x}^{2}}} \\& {{\left({{x}^{7}}\cdot \sqrt{x} \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{7}}\cdot {{x}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{7\frac{1}{3}}} \right)}^{\prime }}=7\frac{1}{3}\cdot {{x}^{6\frac{1}{3}}}=\frac{22}{3}\cdot {{x}^{6}}\cdot \sqrt{x} \\\end{align}\]
Оба слагаемых посчитаны, осталось записать окончательный ответ:
\[{y}"=\frac{11}{3}\cdot {{x}^{2}}\cdot \sqrt{{{x}^{2}}}+\frac{22}{3}\cdot {{x}^{6}}\cdot \sqrt{x}\]
Мы нашли ответ.
Но и на этом возможности формулы для решения производной степенной функции не заканчиваются. Дело в том, что с ее помощью можно считать не только примеры с корнями, но также и с дробями. Это как раз та редкая возможность, которая значительно упрощает решение таких примеров, но при этом зачастую игнорируется не только учениками, но и учителями.
Итак, сейчас мы попытаемся совместить сразу две формулы. С одной стороны, классическая производная степенной функции
\[{{\left({{x}^{n}} \right)}^{\prime }}=n\cdot {{x}^{n-1}}\]
С другой стороны мы знаем, что выражение вида $\frac{1}{{{x}^{n}}}$ представимо в виде ${{x}^{-n}}$. Следовательно,
\[\left(\frac{1}{{{x}^{n}}} \right)"={{\left({{x}^{-n}} \right)}^{\prime }}=-n\cdot {{x}^{-n-1}}=-\frac{n}{{{x}^{n+1}}}\]
\[{{\left(\frac{1}{x} \right)}^{\prime }}=\left({{x}^{-1}} \right)=-1\cdot {{x}^{-2}}=-\frac{1}{{{x}^{2}}}\]
Таким образом, производные простых дробей, где в числителе стоит константа, а в знаменателе — степень, также считаются с помощью классической формулы. Посмотрим, как это работает на практике.
Итак, первая функция:
\[{{\left(\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{-2}} \right)}^{\prime }}=-2\cdot {{x}^{-3}}=-\frac{2}{{{x}^{3}}}\]
Первый пример решен, переходим ко второму:
\[\begin{align}& {{\left(\frac{7}{4{{x}^{4}}}-\frac{2}{3{{x}^{3}}}+\frac{5}{2}{{x}^{2}}+2{{x}^{3}}-3{{x}^{4}} \right)}^{\prime }}= \\& ={{\left(\frac{7}{4{{x}^{4}}} \right)}^{\prime }}-{{\left(\frac{2}{3{{x}^{3}}} \right)}^{\prime }}+{{\left(2{{x}^{3}} \right)}^{\prime }}-{{\left(3{{x}^{4}} \right)}^{\prime }} \\& {{\left(\frac{7}{4{{x}^{4}}} \right)}^{\prime }}=\frac{7}{4}{{\left(\frac{1}{{{x}^{4}}} \right)}^{\prime }}=\frac{7}{4}\cdot {{\left({{x}^{-4}} \right)}^{\prime }}=\frac{7}{4}\cdot \left(-4 \right)\cdot {{x}^{-5}}=\frac{-7}{{{x}^{5}}} \\& {{\left(\frac{2}{3{{x}^{3}}} \right)}^{\prime }}=\frac{2}{3}\cdot {{\left(\frac{1}{{{x}^{3}}} \right)}^{\prime }}=\frac{2}{3}\cdot {{\left({{x}^{-3}} \right)}^{\prime }}=\frac{2}{3}\cdot \left(-3 \right)\cdot {{x}^{-4}}=\frac{-2}{{{x}^{4}}} \\& {{\left(\frac{5}{2}{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}=\frac{5}{2}\cdot 2x=5x \\& {{\left(2{{x}^{3}} \right)}^{\prime }}=2\cdot 3{{x}^{2}}=6{{x}^{2}} \\& {{\left(3{{x}^{4}} \right)}^{\prime }}=3\cdot 4{{x}^{3}}=12{{x}^{3}} \\\end{align}\]...
Теперь собираем все эти слагаемые в единую формулу:
\[{y}"=-\frac{7}{{{x}^{5}}}+\frac{2}{{{x}^{4}}}+5x+6{{x}^{2}}-12{{x}^{3}}\]
Мы получили ответ.
Однако прежде чем двигаться дальше, хотел бы обратить ваше внимание на форму записи самих исходных выражений: в первом выражении мы записали $f\left(x \right)=...$, во втором: $y=...$ Многие ученики теряются, когда видят разные формы записи. Чем отличаются $f\left(x \right)$ и $y$? На самом деле, ничем. Это просто разные записи с одним и тем же смыслом. Просто когда мы говорим $f\left(x \right)$, то речь идет, прежде всего, о функции, а когда речь идет об $y$, то чаще всего подразумевается график функции. В остальном же это одно и то же, т. е., производная в обоих случаях считается одинаково.
В заключение хотелось бы рассмотреть пару сложных комбинированных задач, в которых используется сразу все то, что мы сегодня рассмотрели. В них нас ждут и корни, и дроби, и суммы. Однако сложными эти примеры будут лишь в рамках сегодняшнего видеоурока, потому что по-настоящему сложные функции производных будут ждать вас впереди.
Итак, заключительная часть сегодняшнего видеоурока, состоящая из двух комбинированных задач. Начнем с первой из них:
\[\begin{align}& {{\left({{x}^{3}}-\frac{1}{{{x}^{3}}}+\sqrt{x} \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{3}} \right)}^{\prime }}-{{\left(\frac{1}{{{x}^{3}}} \right)}^{\prime }}+\left(\sqrt{x} \right) \\& {{\left({{x}^{3}} \right)}^{\prime }}=3{{x}^{2}} \\& {{\left(\frac{1}{{{x}^{3}}} \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{-3}} \right)}^{\prime }}=-3\cdot {{x}^{-4}}=-\frac{3}{{{x}^{4}}} \\& {{\left(\sqrt{x} \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{{{x}^{\frac{2}{3}}}}=\frac{1}{3\sqrt{{{x}^{2}}}} \\\end{align}\]
Производная функции равна:
\[{y}"=3{{x}^{2}}-\frac{3}{{{x}^{4}}}+\frac{1}{3\sqrt{{{x}^{2}}}}\]
Первый пример решен. Рассмотрим вторую задачу:
Во втором примере действуем аналогично:
\[{{\left(-\frac{2}{{{x}^{4}}}+\sqrt{x}+\frac{4}{x\sqrt{{{x}^{3}}}} \right)}^{\prime }}={{\left(-\frac{2}{{{x}^{4}}} \right)}^{\prime }}+{{\left(\sqrt{x} \right)}^{\prime }}+{{\left(\frac{4}{x\cdot \sqrt{{{x}^{3}}}} \right)}^{\prime }}\]
Посчитаем каждое слагаемое отдельно:
\[\begin{align}& {{\left(-\frac{2}{{{x}^{4}}} \right)}^{\prime }}=-2\cdot {{\left({{x}^{-4}} \right)}^{\prime }}=-2\cdot \left(-4 \right)\cdot {{x}^{-5}}=\frac{8}{{{x}^{5}}} \\& {{\left(\sqrt{x} \right)}^{\prime }}={{\left({{x}^{\frac{1}{4}}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{4}\cdot {{x}^{-\frac{3}{4}}}=\frac{1}{4\cdot {{x}^{\frac{3}{4}}}}=\frac{1}{4\sqrt{{{x}^{3}}}} \\& {{\left(\frac{4}{x\cdot \sqrt{{{x}^{3}}}} \right)}^{\prime }}={{\left(\frac{4}{x\cdot {{x}^{\frac{3}{4}}}} \right)}^{\prime }}={{\left(\frac{4}{{{x}^{1\frac{3}{4}}}} \right)}^{\prime }}=4\cdot {{\left({{x}^{-1\frac{3}{4}}} \right)}^{\prime }}= \\& =4\cdot \left(-1\frac{3}{4} \right)\cdot {{x}^{-2\frac{3}{4}}}=4\cdot \left(-\frac{7}{4} \right)\cdot \frac{1}{{{x}^{2\frac{3}{4}}}}=\frac{-7}{{{x}^{2}}\cdot {{x}^{\frac{3}{4}}}}=-\frac{7}{{{x}^{2}}\cdot \sqrt{{{x}^{3}}}} \\\end{align}\]
Все слагаемые посчитаны. Теперь возвращаемся к исходной формуле и складываем вместе все три слагаемых. Получаем, что окончательный ответ будет таким:
\[{y}"=\frac{8}{{{x}^{5}}}+\frac{1}{4\sqrt{{{x}^{3}}}}-\frac{7}{{{x}^{2}}\cdot \sqrt{{{x}^{3}}}}\]
И на этом все. Это был первый наш урок. В следующих уроках мы рассмотрим более сложные конструкции, а также выясним, зачем вообще нужны производные.
