Для решения многих задач "на максимум и минимум", т.е. на разыскание наибольшего и наименьшего значений переменной величины, можно успешно пользоваться некоторыми алгебраическими утверждениями, с которыми мы сейчас познакомимся.
Рассмотрим следующую задачу:
На какие две части надо разбить данное число, чтобы произведение их было наибольшим?
Пусть данное число а . Тогда части, на которые разбито число а , можно обозначить через
а / 2 + x и a / 2 - x ;
число х показывает, на какую величину эти части отличаются от половины числа а . Произведение обеих частей равно
( а / 2 + x ) · ( a / 2 - x ) = a 2 / 4 - x 2 .
Ясно, что произведение взятых частей будет увеличиваться при уменьшении х , т.е. при уменьшении разности между этими частями. Наибольшим произведение будет при x = 0 , т.е. в случае, когда обе части равны a / 2 .
Итак,
произведение двух чисел, сумма которых неизменна, будет наибольшим тогда, когда эти числа равны между собой.
Рассмотрим тот же вопрос для трех чисел.
На какие три части надо разбить данное число, чтобы произведение их было наибольшим?
При решении этой задачи будем опираться на предыдущую.
Пусть число а разбито на три части. Предположим сначала, что ни одна из частей не равна a / 3 .Тогда среди них найдется часть, большая a / 3 (все три не могут быть меньше a / 3 ); обозначим ее через
a / 3 + x .
Точно так же среди них найдется часть, меньшая a / 3 ; обозначим ее через
a / 3 - y .
Числа х и у положительны. Третья часть будет, очевидно, равна
a / 3 + y - x .
Числа a / 3 и a / 3 + x - y имеют ту же сумму, что и первые две части числа а , а разность между ними, т.е. х - y , меньше, чем разность между первыми двумя частями, которая была равна х + y . Как мы знаем из решения предыдущей задачи, отсюда следует, что произведение
a / 3 · ( a / 3 + x - y )
больше, чем произведение первых двух частей числа а .
Итак, если первые две части числа а заменить числами
a / 3 и a / 3 + x - y ,
а третью оставить без изменения, то произведение увеличится.
Пусть теперь одна из частей уже равна a / 3 . Тогда две другие имеют вид
a / 3 + z и a / 3 - z .
Если мы эти две последние части сделаем равными a / 3 (отчего сумма их не изменится), то произведение снова увеличится и станет равным
a / 3 · a / 3 · a / 3 = a 3 / 27 .
Итак,
если число а разбито на 3 части, не равные между собой, то произведение этих частей меньше чем а 3 / 27 , т.е. чем произведение трех равных сомножителей, в сумме составляющих а .
Подобным же образом можно доказать эту теорему и для четырех множителей, для пяти и т.д.
Рассмотрим теперь более общий случай.
При каких значениях х и y выражение х p у q наибольшее, если х + y = а ?
Надо найти, при каком значении х выражение
х р · (а - х ) q
достигает наибольшей величины.
Умножим это выражение на число 1 / р p q q . Получим новое выражение
x p / p p · (a - x ) q / q q ,
которое, очевидно, достигает наибольшей величины тогда же, когда и первоначальное.
Представим полученное сейчас выражение в виде
(a - x ) / q · (a - x ) / q · ... · (a - x ) / q ,
где множители первого вида повторяются p раз, а второго - q раз.
Сумма всех множителей этого выражения равна
x / p + x / p + ... + x / p + (a - x ) / q + (a - x ) / q + ... + (a - x ) / q =
= px / p + q ( a - x ) / q = x + a - x = a ,
т.е. величине постоянной.
На основании ранее доказанного заключаем, что произведение
x / p · x / p · ... · x / p · (a - x ) / q · (a - x ) / q · ... · (a - x ) / q
достигает максимума при равенстве всех его отдельных множителей, т.е. когда
x / p = (a - x ) / q .
Зная, что а - х = y , получаем, переставив члены, пропорцию
x / y = p / q .
Итак,
произведение х p y q при постоянстве суммы х + у достигает наибольшей величины тогда, когда
x: y = p: q .
Таким же образом можно доказать, что
произведения
x p y q z r , x p y q z r t u и т.п.
при постоянстве сумм x + y + z , x + y + z + t и т.д. достигают наибольшей величины тогда, когда
х: у: z = p: q: r , х: у: z: t = p: q: r: u и т.д.
Разберем понятие умножение на примере:
Туристы находились в пути три дня. Каждый день они проходили одинаковый путь по 4200 м. Какое расстояние они прошли за три дня? Решите задачу двумя способами.
Решение:
Рассмотрим задачу подробно.
В первый день туристы прошли 4200м. Во-второй день тот же самый путь прошли туристы 4200м и в третий день – 4200м. Запишем математическим языком:
4200+4200+4200=12600м.
Мы видим закономерность число 4200 повторяется три раза, следовательно, можно сумму заменить умножением:
4200⋅3=12600м.
Ответ: туристы за три дня прошли 12600 метров.
Рассмотрим пример:
Чтобы нам не писать длинную запись можно записать ее в виде умножения. Число 2 повторяется 11 раз поэтому пример с умножением будет выглядеть так:
2⋅11=22
Подведем итог. Что такое умножение?
Умножение – это действие заменяющее повторение n раз слагаемого m.
Запись m⋅n и результат этого выражения называют произведением чисел , а числа m и n называют множителями .
Рассмотрим сказанное на примере:
7⋅12=84
Выражение 7⋅12 и результат 84 называются произведением чисел
.
Числа 7 и 12 называются множителями
.
В математике есть несколько законов умножения. Рассмотрим их:
Рассмотрим задачу:
Мы отдали по два яблока 5 своим друзьям. Математически запись будет выглядеть так: 2⋅5.
Или мы отдали по 5 яблок двум своим друзьям. Математически запись будет выглядеть так: 5⋅2.
В первом и втором случаем мы раздадим одинаковое количество яблок равное 10 штукам.
Если мы умножим 2⋅5=10 и 5⋅2=10, то результат не поменяется.
Свойство переместительного закона умножения:
От перемены мест множителей произведение не меняется.
m
⋅
n
=n⋅
m
Рассмотрим на примере:
(2⋅3)⋅4=6⋅4=24 или 2⋅(3⋅4)=2⋅12=24 получим,
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)
(a
⋅
b
) ⋅
c
=
a
⋅(b
⋅
c
)
Свойство сочетательного закона умножения:
Чтобы число умножить на произведение двух чисел, можно его сначала умножить на первый множитель, а затем полученное произведение умножить на второй.
Меняя несколько множителей местами и заключая их в скобки, результат или произведение не изменится.
Эти законы верны для любых натуральных чисел.
Рассмотрим пример:
7⋅1=7 или 1⋅7=7
a
⋅1=a или 1⋅
a
=
a
При умножении любого натурального числа на единицу произведением будет всегда тоже число.
6⋅0=0 или 0⋅6=0
a
⋅0=0 или 0⋅
a
=0
При умножении любого натурального числа на нуль произведение будет равно нулю.
Вопросы к теме “Умножение”:
Что такое произведение чисел?
Ответ: произведением чисел или умножение чисел называется выражение m⋅n, где m – слагаемое, а n – число повторений этого слагаемого.
Для чего нужно умножение?
Ответ: чтобы не писать длинное сложение чисел, а писать сокращенно. Например, 3+3+3+3+3+3=3⋅6=18
Что является результатом умножения?
Ответ: значение произведения.
Что означает запись умножения 3⋅5?
Ответ: 3⋅5=5+5+5=3+3+3+3+3=15
Если умножить миллион на нуль, чему будет равно произведение?
Ответ: 0
Пример №1:
Замените сумму произведением: а) 12+12+12+12+12 б)3+3+3+3+3+3+3+3+3
Ответ: а)12⋅5=60 б) 3⋅9=27
Пример №2:
Запишите в виде произведения: а) а+а+а+а б) с+с+с+с+с+с+с
Решение:
а)а+а+а+а=4⋅а
б) с+с+с+с+с+с+с=7⋅с
Задача №1:
Мама купила 3 коробки конфет. В каждой коробке по 8 конфет. Сколько конфет купила мама?
Решение:
В одной коробке 8 конфет, а у нас таких коробок 3 штуки.
8+8+8=8⋅3=24 конфеты
Ответ: 24 конфеты.
Задача №2:
Учительница рисования сказала приготовить своим восемью ученикам по семь карандашей на урок. Сколько всего карандашей вместе было у детей?
Решение:
Можно посчитать суммой задачу. У первого ученика было 7 карандашей, у второго ученика было 7 карандашей и т.д.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
Запись получилась неудобная и длинная, заменим сумму на произведение.
7⋅8=56
Ответ 56 карандашей.
Одинаковых слагаемых. Например, запись 5*3 обозначает «5 сложить с собой 3 раза», то есть является просто краткой записью для 5+5+5. Результат умножения называется произведением , а умножаемые числа - множителями или сомножителями . Существуют также таблицы умножения .
Умножение обозначается звездочкой * , крестиком или точкой . Записи
обозначают одно и то же. Знак умножения часто пропускают, если это не приводит к путанице. Например, вместо обычно пишут .
Если сомножителей много, то часть их можно заменить многоточием. Например, произведение целых чисел от 1 до 100 может быть записано как
В буквенной записи применяется также символ произведения:
Wikimedia Foundation . 2010 .
- (математика) результат умножения. Произведение искусства. Музыкальное произведение. Аудиовизуальное произведение. Служебное произведение … Википедия
Произведение двух или более объектов это обобщение в теории категорий таких понятий, как декартово произведение множеств, прямое произведение групп и произведение топологических пространств. Произведение семейства объектов это в… … Википедия
Произведение Кронекера бинарная операция над матрицами произвольного размера, обозначается. Результатом является блочная матрица. Произведение Кронекера не следует путать с обычным умножением матриц. Операция названа в честь немецкого… … Википедия
История науки По тематике Математика Естественные науки … Википедия
I. Определение предмета математики, связь с другими науками и техникой. Математика (греч. mathematike, от máthema знание, наука), наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. «Чистая … Большая советская энциклопедия
Теория категорий раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов. Некоторые математики[кто?] считают теорию категорий слишком абстрактной и непригодной для… … Википедия
Вектор У этого термина существуют и другие значения, см. Вектор … Википедия
У этого термина существуют и другие значения, см. функция. Запрос «Отображение» перенаправляется сюда; см. также другие значения … Википедия
У этого термина существуют и другие значения, см. Операция. Операция отображение, ставящее в соответствие одному или нескольким элементам множества (аргументам) другой элемент (значение). Термин «операция» как правило применяется к… … Википедия
У этого термина существуют и другие значения, см. Ротор. Ротор, или вихрь векторный дифференциальный оператор над векторным полем. Обозначается (в русскоязычной литературе) или (в англоязычной литературе), а также как векторное умножение … Википедия
Задача 1.2
Даны два целых числа Х и Т. Если они имеют разные знаки, то присвоить Х значение произведения этих чисел, а Т - значение их разности по модулю. Если числа имеют одинаковые знаки, то присвоить Х значение разности по модулю исходных чисел, а Т - значение произведения этих чисел. Новые значения Х и Т вывести на экран.
Задача тоже несложная. “Непонятки” могут возникнуть только в том случае, если вы забыли, что такое разность по модулю (надеюсь, что такое произведение двух целых чисел, вы всё-таки помните))).
Разность по модулю двух целых чисел (хотя не обязательно целых - это не имеет значения, просто в нашей задаче числа целые) - это, говоря по простому, когда итогом вычисления является модуль разности двух чисел.
То есть сначала выполняется операция вычитания одного числа из другого. А затем вычисляется модуль результата этой операции.
Математически это можно записать так:
Если кто забыл, что такое модуль или как его вычислить в Паскале, то см. .
Решение задачи в целом довольно простое. Трудность у новичков может вызвать лишь определение знаков двух чисел. То есть надо ответить на вопрос: как узнать, имеют числа одинаковые знаки или разные.
Сначала напрашивается поочерёдное сравнение чисел с нулём. Это допустимо. Но исходный код будет довольно большим. Поэтому более правильно использовать такой алгоритм:
Этот алгоритм я выполнил в виде отдельной . А сама программа получилась такой, как показано в примерах на Паскале и С++ ниже.
Решение задачи 1.2 на Паскале program checknums; var A, X, T: integer; //**************************************************************** // Проверяет, имеют ли числа N1 и N2 одинаковые знаки. Если да, то // возвращает TRUE, иначе - FALSE //**************************************************************** function ZnakNumbers(N1, N2: integer) : boolean; begin := (N1 * N2) >= 0; end; //**************************************************************** // ОСНОВНАЯ ПРОГРАММА //**************************************************************** begin Write("X = "); ReadLn(X); Write("T = "); ReadLn(T); if ZnakNumbers(X, T) then //Если числа имеют одинаковые знаки begin A:= (X - T); //Получить разность по модулю исходных чисел T:= X * T; end else //Если числа имеют разные знаки begin A:= X * T; T:= Abs(X - T); end; X:= A; //Записать в Х значение А WriteLn("X = ", X); //Вывести Х WriteLn("T = ", T); //Вывести Т WriteLn("The end. Press ENTER..."); ReadLn; end.
Решение задачи 1.2 на С++ #include #include using namespace std; int A, X, T; //**************************************************************** // Проверяет, имеют ли числа N1 и N2 одинаковые знаки. Если да, то // возвращает TRUE, иначе - FALSE //**************************************************************** bool ZnakNumbers(int N1, int N2) { return ((N1 * N2) >= 0); } //**************************************************************** // ОСНОВНАЯ ПРОГРАММА //**************************************************************** int main(int argc, char *argv) { cout > X; cout > T; if (ZnakNumbers(X, T)) //Если числа имеют одинаковые знаки { A = abs(X - T); //Получить разность по модулю исходных чисел T = X * T; } else //Если числа имеют разные знаки { A = X * T; T = abs(X - T); } X = A; //Записать в Х значение А cout
Эту простую программу можно ещё немного упростить, если не использовать функцию и немного переделать исходный код программы. При этом общее количество строк исходного кода немного сократится. Как это сделать - подумайте сами.
Если концертный зал освещается 3 люстрами по 25 лампочек в каждой, то всего лампочек в этих люстрах будет 25 + 25 + 25, то есть 75.
Сумму, в которой все слагаемые равны друг другу, записывают короче: вместо 25 + 25 + 25 пишут 25 3. Значит, 25 3 = 75 (рис. 43). Число 75 называют произведением чисел 25 и 3, а числа 25 и 3 называют множителями .
Рис. 43. Произведение чисел 25 и 3
Умножить число m на натуральное число n – значит найти сумму n слагаемых, каждое из которых равно m.
Выражение m n и значение этого выражения называют произведением чисел m и n . Числа, которые перемножают называют множителями . Т.е. m и n – множители.
Произведения 7 4 и 4 7 равны одному и тому же числу 28 (рис. 44).
Рис. 44. Произведение 7 4 = 4 7
1. Произведение двух чисел не изменяется при перестановке множителей .
переместительным
a × b = b × a .
Произведения (5 3) 2 = 15 2 и 5 (3 2) = 5 6 имеют одно и то же значение 30. Значит, 5 (3 2) = (5 3) 2 (рис. 45).
Рис. 45. Произведение (5 3) 2 = 5 (3 2)
2. Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первым множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.
Это свойство умножения называют сочетательным . С помощью букв его записывают так:
а (b с) = (а b с).
Сумма n слагаемых, каждое из которых равно 1, равна n. Поэтому верно равенство 1 n = n.
Сумма n слагаемых, каждое из которых равно нулю, равна нулю. Поэтому верно равенство 0 n = 0.
Чтобы переместительное свойство умножения было верно при n = 1 и n = 0, условились, что m 1 = m и m 0 = 0.
Перед буквенными множителями обычно не пишут знак умножения: вместо 8 х пишут 8х , вместо а b пишут а b .
Опускают знак умножения и перед скобками. Например, вместо 2 (а + b ) пишут 2(а+ b ) , а вместо (х + 2) (у + 3) пишут (х + 2) (у + 3).
Вместо (ab ) с пишут abc .
Когда в записи произведения нет скобок, умножение выполняют по порядку слева направо.
Произведения читают, называя каждый множитель в родительном падеже. Например:
1) 175 60 – произведение ста семидесяти пяти и шестидесяти;
2) 80 (х + 1 7) – произведение р.п. р.п.
восьмидесяти и суммы икс и семнадцати
Решим задачу.
Сколько трехзначных чисел (рис. 46) можно составить из цифр 2, 4, 6, 8, если цифры в записи числа не повторяются?
Решение.
Первой цифрой числа может быть любая из четырех данных цифр, второй – любая из трех других, а третьей – любая из двух оставшихся. Получается:
Рис. 46. К задаче о составлении трехзначных чисел
Всего из данных цифр можно составить 4 3 2 = 24 трехзначных числа.
Решим задачу.
В правление фирмы входят 5 человек. Из своего состава правление должно выбрать президента и вице-президента. Сколькими способами это можно сделать?
Решение.
Президентом фирмы можно избрать одного из 5 человек:
Президент:
После того как президент избран, вице-президентом можно выбрать любого из четырех оставшихся членов правления (рис. 47):
|
Рис. 47. К задаче о выборах
Значит, выбрать президента можно пятью способами, и для каждого выбранного президента четырьмя способами можно выбрать вице-президента. Следовательно, общее число способов выбрать президента и вице-президента фирмы равно: 5 4 = 20 (см. рис. 47).
Решим еще задачу.
Из села Аникеево в село Большово ведут четыре дороги, а из села Большово в село Виноградове – три дороги (рис. 48). Сколькими способами можно добраться из Аникеева в Виноградове через село Большово?
Рис. 48. К задаче о дорогах
Решение.
Если из А в Б добираться по 1-й дороге, то продолжить путь есть три способа (рис. 49).
Рис. 49. Варианты пути
Точно так же рассуждая, получаем по три способа продолжить путь, начав добираться и по 2-й, и по 3-й, и по 4-й дороге. Значит, всего получается 4 3 = 12 способов добраться из Аникеева в Виноградове.
Решим еще одну задачу.
Семье, состоящей из бабушки, папы, мамы, дочери и сына, подарили 5 разных чашек. Сколькими способами можно разделить чашки между членами семьи?
Решение . У первого члена семьи (например, бабушки) есть 5 вариантов выбора, у следующего (пусть это будет папа) остается 4 варианта выбора. Следующий (например, мама) будет выбирать уже из 3 чашек, следующий – из двух, последний же получает одну оставшуюся чашку. Покажем эти способы на схеме (рис. 50).
Рис. 50. Схема к решению задачи
Получили, что каждому выбору чашки бабушкой соответствует четыре возможных выбора папы, т.е. всего 5 4 способов. После того как папа выбрал чашку, у мамы есть три варианта выбора, у дочери – два, у сына – один, т.е. всего 3 2 1 способов. Окончательно получаем, что для решения задачи надо найти произведение 5 4 3 2 1.
Заметим, что получили произведение всех натуральных чисел от 1 до 5. Такие произведения записывают короче:
5 4 3 2 1 = 5! (читают: «пять факториал»).
Факториал числа – произведение всех натуральных чисел от 1 до этого числа.
Итак, ответ задачи: 5! = 120, т.е. чашки между членами семьи можно распределить ста двадцатью способами.