В этой статье собрана начальная информация о системах неравенств. Здесь дано определение системы неравенств и определение решения системы неравенств. А также перечислены основные виды систем, с которыми наиболее часто приходится работать на уроках алгебры в школе, и приведены примеры.
Навигация по странице.
Системы неравенств удобно определить аналогично тому, как мы вводили определение системы уравнений , то есть, по виду записи и смыслу, вложенному в нее.
Определение.
Система неравенств – это запись, представляющая собой некоторое число записанных друг под другом неравенств, объединенных слева фигурной скобкой, и обозначающая множество всех решений, являющихся одновременно решениями каждого неравенства системы.
Приведем пример системы неравенств. Возьмем два произвольных , например, 2·x−3>0
и 5−x≥4·x−11
, запишем их одно под другим
2·x−3>0
,
5−x≥4·x−11
и объединим знаком системы – фигурной скобкой, в результате получим систему неравенств такого вида:
Аналогично дается представление о системах неравенств в школьных учебниках. Стоит отметить, что в них определения даются более узко: для неравенств с одной переменной или с двумя переменными .
Понятно, что можно составить бесконечно много различных систем неравенств. Чтобы не заблудиться в этом многообразии, их целесообразно рассматривать по группам, имеющим свои отличительные признаки. Все системы неравенств можно разбить на группы по следующим критериям:
По числу неравенств, входящих в запись, различают системы двух, трех, четырех и т.д. неравенств. В предыдущем пункте мы привели пример системы , которая является системой двух неравенств. Покажем еще пример системы четырех неравенств 
.
Отдельно скажем, что нет смысла говорить о системе одного неравенства, в этом случае по сути речь идет о самом неравенстве, а не о системе.
Если смотреть на число переменных, то имеют место системы неравенств с одной, двумя, тремя и т.д. переменными (или, как еще говорят, неизвестными). Посмотрите на последнюю систему неравенств, записанную двумя абзацами выше. Это система с тремя переменными x , y и z . Обратите внимание, что ее два первых неравенства содержат не все три переменные, а лишь по одной из них. В контексте этой системы их стоит понимать как неравенства с тремя переменными вида x+0·y+0·z≥−2 и 0·x+y+0·z≤5 соответственно. Заметим, что в школе основное внимание уделяется неравенствам с одной переменной.
Осталось обговорить, какие виды неравенств участвуют в записи систем. В школе в основном рассматривают системы двух неравенств (реже – трех, еще реже - четырех и более) с одной или двумя переменными, причем сами неравенства обычно являются целыми неравенствами
первой или второй степени (реже – более высоких степеней или дробно рациональными). Но не удивляйтесь, если в материалах по подготовке к ОГЭ столкнетесь с системами неравенств, содержащими иррациональные, логарифмические, показательные и другие неравенства. В качестве примера приведем систему неравенств 
, она взята из
.
Введем еще одно определение, связанное с системами неравенств, - определение решения системы неравенств :
Определение.
Решением системы неравенств с одной переменной называется такое значение переменной, обращающее каждое из неравенств системы в верное , другими словами, являющееся решением каждого неравенства системы.
Поясним на примере. Возьмем систему двух неравенств с одной переменной . Возьмем значение переменной x , равное 8 , оно является решением нашей системы неравенств по определению, так как его подстановка в неравенства системы дает два верных числовых неравенства 8>7 и 2−3·8≤0 . Напротив, единица не является решением системы, так как при ее подстановке вместо переменной x первое неравенство обратится в неверное числовое неравенство 1>7 .
Аналогично можно ввести определение решения системы неравенств с двумя, тремя и большим числом переменных:
Определение.
Решением системы неравенств с двумя, тремя и т.д. переменными называется пара, тройка и т.д. значений этих переменных, которая одновременно является решением каждого неравенства системы, то есть, обращает каждое неравенство системы в верное числовое неравенство.
К примеру, пара значений x=1 , y=2 или в другой записи (1, 2) является решением системы неравенств с двумя переменными , так как 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .
Системы неравенств могут не иметь решений, могут иметь конечное число решений, а могут иметь и бесконечно много решений. Часто говорят о множестве решений системы неравенств. Когда система не имеет решений, то имеет место пустое множество ее решений. Когда решений конечное число, то множество решений содержит конечное число элементов, а когда решений бесконечно много, то и множество решений состоит из бесконечного числа элементов.
В некоторых источниках вводятся определения частного и общего решения системы неравенств, как, например, в учебниках Мордковича . Под частным решением системы неравенств понимают ее одно отдельно взятое решение. В свою очередь общее решение системы неравенств - это все ее частные решения. Однако в этих терминах есть смысл лишь тогда, когда требуется особо подчеркнуть, о каком решении идет речь, но обычно это и так понятно из контекста, поэтому намного чаще говорят просто «решение системы неравенств».
Из введенных в этой статье определений системы неравенств и ее решений следует, что решение системы неравенств представляет собой пересечение множеств решений всех неравенств этой системы.
Список литературы.
Тема урока «Решение неравенств и их систем» (математика 9 класс)
Тип урока: урок систематизации и обобщения знаний и умений
Технология урока: технология развития критического мышления, дифференцированное обучение, ИКТ-технологии
Цель урока : повторить и систематизировать знания о свойствах неравенств и методах их решения, создать условия для формирования умений применять эти знания при решении стандартных и творческих задач.
Задачи.
Образовательные:
способствовать развитию умений обучающихся обобщать полученные знания, проводить анализ, синтез, сравнения, делать необходимые выводы
организовать деятельность обучающихся по применению полученных знаний на практике
содействовать развитию умений применять полученные знания в нестандартных условиях
Развивающие:
продолжить формирование логического мышления, внимания и памяти;
совершенствовать навыки анализа, систематизации, обобщения;
создание условий, обеспечивающих формирование у учеников навыков самоконтроля;
способствовать овладению необходимыми навыками самостоятельной учебной деятельности.
Воспитательные:
воспитывать дисциплинированность и собранность, ответственность, самостоятельность, критичное отношение к себе, внимательность.
Планируемые образовательные результаты.
Личностные: ответственное отношение к учению и коммуникативная компетентность в общении и сотрудничестве со сверстниками в процессе образовательной деятельности.
Познавательные: умение определять понятия, создавать обобщения, самостоятельно выбирать основания и критерии для классификации, строить логическое рассуждение, делать выводы;
Регулятивные: умение определять потенциальные затруднения при решении учебной и познавательной задачи и находить средства для их устранения, выполнять оценку своих достижений
Коммуникативные: умение высказывать суждения с использованием математических терминов и понятий, формулировать вопросы и ответы в ходе выполнения задания, обмениваться знаниями между членами группы для принятия эффективных совместных решений.
Основные термины, понятия: линейноенеравенство, квадратное неравенство, система неравенств.
Оборудование
Проектор, ноутбук учителя, несколько нетбуков для учащихся;
Презентация;
Карточки с основными знаниями и умениями по теме урока (приложение 1);
Карточки с самостоятельной работой (приложение 2).
План урока
| Ход урока |
|||
| Технологические этапы. Цель. | Деятельность учителя | Деятельность учащихся | |
| Вводно-мотивационный компонент |
|||
| 1.Организационный Цель: психологическая подготовка к общению. | Здравствуйте. Рада вас всех видеть. Садитесь. Проверьте все ли у вас готово к уроку. Если все в порядке, то посмотрите на меня. | Здороваются. Проверяют принадлежности. Настраиваются на работу. | Личностные. Формируются ответственное отношение к учению. |
| 2.Актуализация знаний (2 мин) Цель: определить индивидуальные пробелы в знаниях по теме | Тема нашего урока «Решение неравенств с одной переменной и их систем». (слайд 1) Перед вами перечень основных знаний и умений по теме. Оцените свои знания и умения. Расставьте соответствующие значки. (слайд 2) | Оценивают собственные знания и умения. (приложение 1) | Регулятивные Самооценка своих знаний и умений |
| 3.Мотивация (2 мин) Цель: обеспечить деятельность по определению целей урока. | В работе ОГЭ по математике несколько вопросов и первой, и второй части определяют умения решать неравенства. Что нам нужно повторить на уроке, чтобы успешно справиться с этими заданиями? | Рассуждают, называют вопросы для повторения. | Познавательные. Выделяют и формулируют познавательную цель. |
| Этап осмысления (содержательный компонент) |
|||
| 4.Самооценка и выбор траектории (1-2 мин) | В зависимости от того как вы оценили свои знания и умения по теме, выберите форму работы на уроке. Вы можете работать со всем классом вместе со мной. Можете работать индивидуально на нетбуках, пользуясь моей консультацией или в парах, помогая друг другу. | Определяются с индивидуальной траекторией обучения. При необходимости меняются местами. | Регулятивные определять потенциальные затруднения при решении учебной и познавательной задачи и находить средства для их устранения |
| 5-7 Работа в парах или индивидуально (25 мин) | Учитель консультирует учеников, работающих самостоятельно. | Ученики, хорошо знающие тему работают индивидуально или в парах с презентацией (слайды 4-10) Выполняют задания (слайды 6,9). | Познавательные умение определять понятия, создавать обобщения, выстраивать логическую цепь Регулятивные умение определять действия в соответствии с учебной и познавательной задачей Коммуникативные умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность, работать с источником информации Личностные ответственное отношение к учению, готовность и способность к саморазвитию и самообразованию |
| 5.Решение линейных неравенств. (10 мин) | Какие свойства неравенств используем при их решении? Можете ли вы отличить линейные, квадратные неравенства и их системы? (слайд 5) Как решить линейное неравенство? Выполните решение. (слайд 6) Учитель следит за решением у доски. Проверьте правильность решения. | Называют свойства неравенств, после ответа или в случае затруднения учитель открывает слайд 4. Называют отличительные признаки неравенств. Используя свойства неравенств. Один ученик решает у доски неравенство №1. Остальные в тетрадях, следят за решением отвечающего. Неравенства №2 и 3 выполняют самостоятельно. Сверяются с готовым ответом. | Познавательные Коммуникативные |
| 6.Решение квадратных неравенств. (10 мин) | Как решить неравенство ? Какое это неравенство? Какие методы используют при решении квадратных неравенств? Вспомним метод параболы (слайд 7) Учитель напоминает этапы решения неравенства. Метод интервалов применяют для решения неравенств второй и более высоких степеней. (слайд 8) Для решения квадратных неравенств вы можете выбрать метод, удобный вам. Решите неравенства. (слайд 9). Учитель следит за ходом решения, напоминает способы решения неполных квадратных уравнений. Учитель консультирует индивидуально работающих учеников. | Ответ: Квадратное неравенство решаем методом параболы или методом интервалов. Учащиеся следят за решением по презентации. У доски ученики по очереди решают неравенства №1 и 2. Сверяются с ответом. (для решения нер-ва №2 надо вспомнить способ решения неполных квадратных уравнений). Неравенство №3 решают самостоятельно, сверяются с ответом. | Познавательные умение определять понятия, создавать обобщения, строить рассуждение от общих закономерностей к частным решениям Коммуникативные умение представлять в устной и письменной форме развернутый план собственной деятельности; |
| 7.Решение систем неравенств (4-5 мин) | Вспомните этапы решения системы неравенств. Решите систему (Слайд 10) | Называют этапы решения Ученик решает у доски, сверяется с решением на слайде. | |
| Рефлексивно-оценочный этап |
|||
| 8.Контроль и проверка знаний (10 мин) Цель: выявить качество усвоения материала. | Проверим ваши знания по теме. Решите самостоятельно задания. Учитель проверяет результат по готовым ответам. | Выполняют самостоятельную работу по вариантам (приложение 2) Выполнив работу, ученик сообщает об этом учителю. Ученик определяет свою оценку по критериям (слайд 11). При успешном выполнении работы, может приступить к дополнительному заданию (слайд 11) | Познавательные. Строят логические цепи рассуждений. |
| 9.Рефлексия (2 мин) Цель: формируется адекватная самооценка своих возможностей и способностей, достоинств и ограничений | Есть ли улучшение результата? Если ещё есть вопросы, дома обратитесь к учебнику (стр.120) | Оценивают собственные знания и умения на том же листочке (приложение 1). Сравнивают с самооценкой в начале урока, делают выводы. | Регулятивные Самооценка своих достижений |
| 10.Домашнее задание (2 мин) Цель: закрепление изученного материала. | Домашнее задания определите по результатам самостоятельной работы (слайд 13) | Определяют и записывают индивидуальное задание | Познавательные. Строят логические цепи рассуждений. Производят анализ и преобразование информации. |
Список использованной литературы : Алгебра. Учебник для 9 класса. / Ю.Н.Макрычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова. - М.: Просвещение, 2014
Сегодня на уроке мы обобщим наши знания при решении систем неравенств и изучим решение совокупности систем неравенств.
Определение первое .
Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют систему неравенств, если ставится задача найти все общие решения заданных неравенств.
Значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство, называют частным решением системы неравенств.
Множество всех частных решений системы неравенств представляет собой общее решение системы неравенств (чаще говорят просто — решение системы неравенств).
Решить систему неравенств - значит найти все ее частные решения, либо доказать, что у данной системы решений нет.
Запомните! Решение системы неравенств - это пересечение решений неравенств, входящих в систему.
Неравенства, входящие в систему, объединяются фигурной скобкой.
Алгоритм решения системы неравенств с одной переменной:
Перовое — отдельно решить каждое неравенство.
Второе — найти пересечение найденных решений.
Это пересечение и является множеством решений системы неравенств
Задание 1
Решить систему неравенств семь икс минус сорок два меньше либо равно нулю и два икс минус семь больше нуля.
Решение первого неравенства — икс меньше либо равно шести, второго неравенства - икс больше семи вторых. Отметим эти промежутки на координатной прямой. Решение первого неравенства помечено штриховкой снизу, второго неравенства - штриховкой сверху. Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств, то есть промежуток, на котором обе штриховки совпали. В итоге получаем полуинтервал от семи вторых до шести, включая шесть.
Задание 2
Решить систему неравенств: икс квадрат плюс икс минус шесть больше нуля и икс квадрат плюс икс плюс шесть больше нуля.
Решение
Решим первое неравенство — икс квадрат плюс икс минус шесть больше нуля.
Рассмотрим функцию игрек равен икс квадрат плюс икс минус шесть. Нули функции: икс первое равно минус трем, икс второе равно двум. Изображая схематически параболу, найдем, что решением первого неравенства является объединение открытых числовых лучей от минус бесконечности до минус трех и от двух до плюс бесконечности.
Решим второе неравенство системы икс квадрат плюс икс плюс шесть больше нуля.
Рассмотрим функцию игрек равен икс квадрат плюс икс плюс шесть. Дискриминант равен минус двадцати трем меньше нуля, значит, функция не имеет нулей. Парабола не имеет общих точек с осью Ох. Изображая схематически параболу, найдем, что решением неравенства является множество всех чисел.
Изобразим на координатной прямой решения неравенств системы.
Из рисунка видно, что решением системы является объединение открытых числовых лучей от минус бесконечности до минус трех и от двух до плюс бесконечности.
Ответ:объединение открытых числовых лучей от минуса бесконечности до минус трех и от двух до плюс бесконечности.
Запомните! Если в системе из нескольких неравенств одно является следствием другого (или других), то неравенство-следствие можно отбросить.
Рассмотрим пример решения неравенства системой.
Задание 3
Решить неравенство логарифм выражения икс квадрат минус тринадцать икс плюс сорок два по основанию два больше либо равно единице.
Решение
ОДЗ неравенства задается условием икс квадрат минус тринадцать икс плюс сорок два больше нуля. Представим число один как логарифм двух по основанию два и получим неравенство — логарифм выражения икс квадрат минус тринадцать икс плюс сорок два по основанию два больше либо равно логарифму двух по основанию два.
Видим, что основание логарифма равно двум больше одного, то приходим к равносильному неравенству икс квадрат минус тринадцать икс плюс сорок два больше либо равно двум. Следовательно, решение данного логарифмического неравенства сводится к решению системы двух квадратных неравенств.
Причем легко заметить, если выполнено второе неравенство, то тем более выполняется первое неравенство. Поэтому первое неравенство - следствие второго, и его можно отбросить. Второе неравенство преобразуем и запишем в виде: икс квадрат минус тринадцать икс плюс сорок больше нуля. Решением его является объединение двух числовых лучей от минус бесконечности до пяти и от восьми до плюс бесконечности.
Ответ:объединение двух числовых лучей от минус бесконечности до пяти и от восьми до плюс бесконечности.
открытых числовых лучей
Определение второе .
Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют совокупность неравенств, если ставится задача найти все такие значения переменной, каждое из которых является решением, хотя бы одного из заданных неравенств.
Каждое такое значение переменной называют частным решением совокупности неравенств.
Множество всех частных решений совокупности неравенств представляет собой общее решение совокупности неравенств.
Запомните! Решение совокупности неравенств - объединение решений неравенств, входящих в совокупность.
Неравенства, входящие в совокупность, объединяются квадратной скобкой.
Алгоритм решения совокупности неравенств:
Первое — отдельно решить каждое неравенство.
Второе — найти объединение найденных решений.
Это объединение и является решением совокупности неравенств.
Задание 4
ноль целых две десятых умноженное на разность двух икс и трех меньше икс минус два;
пять икс минус семь больше икс минус шесть.
Решение
Преобразуем каждое из неравенств. Получим равносильную совокупность
икс больше семи третьих;
икс больше одной четвертой.
Для первого неравенства множеством решений служит промежуток от семи третьих до плюс бесконечности, а для второго - промежуток от одной четвертой до плюс бесконечности.
Изобразим на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенствам икс больше семи третьих и икс больше одной четвертой.
Находим, что объединением этих множеств, т.е. решением данной совокупности неравенств, является открытый числовой луч от одной четвертой до плюс бесконечности.
Ответ: открытый числовой луч от одной четвертой до плюс бесконечности.
Задание 5
Решить совокупность неравенств:
два икс минус один меньше трех и три икс минус два больше либо равно десяти.
Решение
Преобразуем каждое из неравенств. Получим равносильную совокупность неравенств: икс больше двух и икс больше либо равно четырем.
Изобразим на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих этим неравенствам.
Находим, что объединением этих множеств, т.е. решением данной совокупности неравенств, является открытый числовой луч от двух до плюс бесконечности.
Ответ: открытый числовой луч от двух до плюс бесконечности.
Тема урока: Решение системы линейных неравенств с одной переменной
Дата: _______________
Класс: 6а, 6б, 6в
Тип урока: изучение нового материала и первичное закрепление.
Дидактическая цель: создать условия для осознания и осмысления блока новой учебной информации.
Цели: 1) Образовательная: ввести понятия: решение систем неравенств, равносильные системы неравенств и их свойства; научить применять эти понятия при решении простейших систем неравенств с одной переменной.
2) Развивающая: способствовать развитию элементов творческой, самостоятельной деятельности учащихся; развивать речь, умение мыслить, анализировать, обобщать, высказывать свои мысли четко, лаконично.
3) Воспитательная: воспитание уважительного отношения друг к другу и ответственного отношения к учебному труду.
Задачи:
повторить теорию по теме числовые неравенства и числовые промежутки;
привести пример задачи, которая решается системой неравенств;
рассмотреть примеры решения систем неравенств;
выполнить самостоятельную работу.
Формы организации учебной деятельности: - фронтальная – коллективная - индивидуальная.
Методы: объяснительно – иллюстративный.
План урока:
1. Организационный момент, мотивация, постановка цели
2. Актуализация изучения темы
3. Изучение нового материала
4. Первичное закрепление и применение нового материала
5. Выполнение самостоятельной работы
7. Подведение итогов урока. Рефлексия.
Ход урока:
1. Организационный момент
Неравенство может быть хорошим помощником. Только надо знать, когда к нему необходимо обратиться за помощью. На языке неравенств нередко формулируется постановка задач во многих приложениях математики. Например, многие экономические задачи сводятся к исследованию систем линейных неравенств. Поэтому важно уметь решать системы неравенств. А что же значит – «решить систему неравенств»? Это мы и разберем сегодня на уроке.
2. Актуализация знаний.
Устная работа с классом, три ученика работают по индивидуальным карточкам .
Для повторения теории темы «Неравенства и их свойства», проведем тестирование с последующей проверкой и беседой по теории данной темы. Каждое задание теста предполагает ответ «Да» - фигура , «Нет» - фигура ____
В результате выполнения теста должна получиться какая-то фигура.
(ответ: ).
Установить соответствие между неравенством и числовым промежутком
1. (– ; – 0,3)
2. (3; 18)
3. [ 12; + )
4. (– 4; 0]
5. [ 4; 12]
6. [ 2,5; 10)
«Математика учит преодолевать трудности и исправлять собственные ошибки». Найдите ошибку в решении неравенства, объясните, почему допущена ошибка, запишите в тетрадь правильное решение.
2х<8-6
х>-1
3. Изучение нового материала.
Как вы думаете, что называется решением системы неравенств?
(Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы)
Что значит « Решить систему неравенств»?
(Решить систему неравенств– значит найти все её решения или доказать, что решений нет)
Что надо сделать, чтобы ответить на вопрос « является ли заданное число
решением системы неравенств?»
(Подставить это число в оба неравенства системы, если получатся верные неравенства, то заданное число является решением системы неравенств, если получатся неверные неравенства, то заданное число не является решение системы неравенств)
Сформулировать алгоритм решения систем неравенств
1. Решить каждое неравенство системы.
2. Изобразить графически решения каждого неравенства на координатной прямой.
3. Найти пересечение решений неравенств на координатной прямой.
4. Записать ответ в виде числового промежутка.
Рассмотреть примеры:
Ответ: 
Ответ: нет решений
4. Закрепление темы.
Работа с учебником № 1016 , № 1018, № 1022
5. Самостоятельная работа по вариантам (Карточки- задания для учащихся на столах)
Самостоятельная работа
Вариант 1
Решите систему неравенств:
