Дроби и их сокращение — еще одна тема, которая начинается в 5 классе. Здесь формируется база этого действия, а потом эти умения тянутся ниточкой в высшую математику. Если ученик не усвоил, то у него могут возникнуть проблемы в алгебре. Поэтому лучше уяснить несколько правил раз и навсегда. А еще запомнить один запрет и никогда его не нарушать.
Что это такое, знает каждый ученик. Любые две цифры расположенные между горизонтальной чертой сразу воспринимаются, как дробь. Однако не все понимают, что ею может стать любое число. Если оно целое, то его всегда можно разделить на единицу, тогда получится неправильная дробь. Но об этом позже.
Начало всегда простое. Сначала нужно выяснить, как сократить правильную дробь. То есть такую, у которой числитель меньше, чем знаменатель. Для этого потребуется вспомнить основное свойство дроби. Оно утверждает, что при умножении (так же, как и делении) одновременно ее числителя и знаменателя на одинаковое число получается, равноценная исходной дробь.
Действия деления, которые выполняются в этом свойстве и приводят к сокращению. То есть максимальному ее упрощению. Дробь можно сокращать до тех пор, пока над чертой и под ней есть общие множители. Когда их уже не будет, то сокращение невозможно. И говорят, что эта дробь несократимая.
1. Пошаговое сокращение. В нем используется метод прикидки, когда оба числа делятся на минимальный общий множитель, который заметил ученик. Если после первого сокращения видно, что это не конец, то деление продолжается. Пока дробь не станет несократимой.
2. Нахождение наибольшего общего делителя у числителя и знаменателя. Это самый рациональный способ того, как сокращать дроби. Он подразумевает разложение числителя и знаменателя на простые множители. Среди них потом нужно выбрать все одинаковые. Их произведение даст наибольший общий множитель, на который сокращается дробь.
Оба эти способа равноценны. Ученику предлагается освоить их и пользоваться тем, который больше понравился.
С первой частью вопроса все более-менее понятно. Буквы можно сокращать так же как и числа. Главное, чтобы они выступали в роли множителей. А вот со второй у многих возникают проблемы.
Важно запомнить! Сокращать можно только числа, которые являются множителями. Если они слагаемые — нельзя.
Для того чтобы понять, как сокращать дроби, имеющие вид алгебраического выражения, нужно усвоить правило. Сначала представить числитель и знаменатель в виде произведения. Потом можно сокращать, если появились общие множители. Для представления в виде множителей пригодятся такие приемы:
Причем последний способ дает возможность сразу получить слагаемые в виде множителей. Поэтому его необходимо использовать всегда, если видна известная закономерность.
Но это еще не страшно, потом появляются задания со степенями и корнями. Вот тогда требуется набраться смелости и усвоить пару новых правил.
Дробь. В числителе и знаменателе произведение. Есть буквы и числа. А они еще и возведены в степень, которая тоже состоит из слагаемых или множителей. Есть чего испугаться.
Для того чтобы разобраться в том, как сокращать дроби со степенями, потребуется выучить два момента:
После выполнения этих действий становятся видны общие множители. В таких примерах нет необходимости вычислять все степени. Достаточно просто сократить степени с одинаковыми показателями и основаниями.
Для того чтобы окончательно усвоить то, как сокращать дроби со степенями, нужно много практиковаться. После нескольких однотипных примеров действия будут выполняться уже автоматически.
Его тоже можно сократить. Только опять же, соблюдая правила. Причем верны все те, которые были описаны выше. В общем, если стоит вопрос о том, как сократить дробь с корнями, то нужно делить.
На иррациональные выражения тоже можно разделить. То есть если в числителе и знаменателе стоят одинаковые множители, заключенные под знак корня, то их можно смело сокращать. Это приведет к упрощению выражения и выполнению задания.
Если после сокращения под чертой дроби осталась иррациональность, то от нее нужно избавиться. Другими словами, умножить на нее числитель и знаменатель. Если после этой операции появились общие множители, то их снова нужно будет сократить.
Вот, пожалуй, и все о том, как сокращать дроби. Правил немного, а запрет один. Никогда не сокращать слагаемые!
Данная статья продолжает тему преобразования алгебраических дробей: рассмотрим такое действие как сокращение алгебраических дробей. Дадим определение самому термину, сформулируем правило сокращения и разберем практические примеры.
Yandex.RTB R-A-339285-1
В материалах об обыкновенной дроби мы рассматривали ее сокращение. Мы определили сокращение обыкновенной дроби как деление ее числителя и знаменателя на общий множитель.
Сокращение алгебраической дроби представляет собой аналогичное действие.
Определение 1
Сокращение алгебраической дроби – это деление ее числителя и знаменателя на общий множитель. При этом, в отличие от сокращения обыкновенной дроби (общим знаменателем может быть только число), общим множителем числителя и знаменателя алгебраической дроби может служить многочлен, в частности, одночлен или число.
К примеру, алгебраическая дробь 3 · x 2 + 6 · x · y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 может быть сокращена на число 3 , в итоге получим: x 2 + 2 · x · y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 . Эту же дробь мы можем сократить на переменную х, и это даст нам выражение 3 · x + 6 · y 6 · x 2 · y + 12 · x · y 2 . Также заданную дробь возможно сократить на одночлен 3 · x или любой из многочленов x + 2 · y , 3 · x + 6 · y , x 2 + 2 · x · y или 3 · x 2 + 6 · x · y .
Конечной целью сокращения алгебраической дроби является дробь более простого вида, в лучшем случае – несократимая дробь.
Опять же из материалов об обыкновенных дробях мы знаем, что существуют сократимые и несократимые дроби. Несократимые – это дроби, не имеющие общих множителей числителя и знаменателя, отличных от 1 .
С алгебраическими дробями все так же: они могут иметь общие множители числителя и знаменателя, могут и не иметь. Наличие общих множителей позволяет упростить исходную дробь посредством сокращения. Когда общих множителей нет, оптимизировать заданную дробь способом сокращения невозможно.
В общих случаях по заданному виду дроби довольно сложно понять, подлежит ли она сокращению. Конечно, в некоторых случаях наличие общего множителя числителя и знаменателя очевидно. Например, в алгебраической дроби 3 · x 2 3 · y совершенно понятно, что общим множителем является число 3 .
В дроби - x · y 5 · x · y · z 3 также мы сразу понимаем, что сократить ее возможно на х, или y , или на х · y . И все же гораздо чаще встречаются примеры алгебраических дробей, когда общий множитель числителя и знаменателя не так просто увидеть, а еще чаще – он попросту отсутствует.
Например, дробь x 3 - 1 x 2 - 1 мы можем сократить на х - 1 , при этом указанный общий множитель в записи отсутствует. А вот дробь x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 подвергнуть действию сокращения невозможно, поскольку числитель и знаменатель не имеют общего множителя.
Таким образом, вопрос выяснения сократимости алгебраической дроби не так прост, и зачастую проще работать с дробью заданного вида, чем пытаться выяснить, сократима ли она. При этом имеют место такие преобразования, которые в частных случаях позволяют определить общий множитель числителя и знаменателя или сделать вывод о несократимости дроби. Разберем детально этот вопрос в следующем пункте статьи.
Правило сокращения алгебраических дробей состоит из двух последовательных действий:
Самым удобным методом отыскания общих знаменателей является разложение на множители многочленов, имеющихся в числителе и знаменателе заданной алгебраической дроби. Это позволяет сразу наглядно увидеть наличие или отсутствие общих множителей.
Само действие сокращения алгебраической дроби базируется на основном свойстве алгебраической дроби, выражаемой равенством undefined , где a , b , c – некие многочлены, причем b и c – ненулевые. Первым шагом дробь приводится к виду a · c b · c , в котором мы сразу замечаем общий множитель c . Вторым шагом – выполняем сокращение, т.е. переход к дроби вида a b .
Несмотря на некоторую очевидность, уточним про частный случай, когда числитель и знаменатель алгебраической дроби равны. Подобные дроби тождественно равны 1 на всей ОДЗ переменных этой дроби:
5 5 = 1 ; - 2 3 - 2 3 = 1 ; x x = 1 ; - 3 , 2 · x 3 - 3 , 2 · x 3 = 1 ; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y ;
Поскольку обыкновенные дроби являются частным случаем алгебраических дробей, напомним, как осуществляется их сокращение. Натуральные числа, записанные в числителе и знаменателе, раскладываются на простые множители, затем общие множители сокращаются (если таковые имеются).
К примеру, 24 1260 = 2 · 2 · 2 · 3 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 = 2 3 · 5 · 7 = 2 105
Произведение простых одинаковых множителей возможно записать как степени, и в процессе сокращения дроби использовать свойство деления степеней с одинаковыми основаниями. Тогда вышеуказанное решение было бы таким:
24 1260 = 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 · 5 · 7 = 2 105
(числитель и знаменатель разделены на общий множитель 2 2 · 3 ). Или для наглядности, опираясь на свойства умножения и деления, решению дадим такой вид:
24 1260 = 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 = 2 3 2 2 · 3 3 2 · 1 5 · 7 = 2 1 · 1 3 · 1 35 = 2 105
По аналогии осуществляется сокращение алгебраических дробей, у которых в числителе и знаменателе имеются одночлены с целыми коэффициентами.
Пример 1
Задана алгебраическая дробь - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Необходимо произвести ее сокращение.
Решение
Возможно записать числитель и знаменатель заданной дроби как произведение простых множителей и переменных, после чего осуществить сокращение:
27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 · a 3 2 · c 6
Однако, более рациональным способом будет запись решения в виде выражения со степенями:
27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .
Ответ: - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 9 · a 3 2 · c 6
Когда в числителе и знаменателе алгебраической дроби имеются дробные числовые коэффициенты, возможно два пути дальнейших действий: или отдельно осуществить деление этих дробных коэффициентов, или предварительно избавиться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на некое натуральное число. Последнее преобразование проводится в силу основного свойства алгебраической дроби (про него можно почитать в статье «Приведение алгебраической дроби к новому знаменателю»).
Пример 2
Задана дробь 2 5 · x 0 , 3 · x 3 . Необходимо выполнить ее сокращение.
Решение
Возможно сократить дробь таким образом:
2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 2 5 3 10 · x x 3 = 4 3 · 1 x 2 = 4 3 · x 2
Попробуем решить задачу иначе, предварительно избавившись от дробных коэффициентов – умножим числитель и знаменатель на наименьшее общее кратное знаменателей этих коэффициентов, т.е. на НОК (5 , 10) = 10 . Тогда получим:
2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 10 · 2 5 · x 10 · 0 , 3 · x 3 = 4 · x 3 · x 3 = 4 3 · x 2 .
Ответ: 2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 4 3 · x 2
Когда мы сокращаем алгебраические дроби общего вида, в которых числители и знаменатели могут быть как одночленами, так и многочленами, возможна проблема, когда общий множитель не всегда сразу виден. Или более того, он попросту не существует. Тогда для определения общего множителя или фиксации факта о его отсутствии числитель и знаменатель алгебраической дроби раскладывают на множители.
Пример 3
Задана рациональная дробь 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 . Необходимо ее сократить.
Решение
Разложим на множители многочлены в числителе и знаменателе. Осуществим вынесение за скобки:
2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 = 2 · b 2 · (a 2 + 14 · a + 49) b 3 · (a 2 - 49)
Мы видим, что выражение в скобках возможно преобразовать с использованием формул сокращенного умножения:
2 · b 2 · (a 2 + 14 · a + 49) b 3 · (a 2 - 49) = 2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a - 7) · (a + 7)
Хорошо заметно, что возможно сократить дробь на общий множитель b 2 · (a + 7) . Произведем сокращение:
2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a - 7) · (a + 7) = 2 · (a + 7) b · (a - 7) = 2 · a + 14 a · b - 7 · b
Краткое решение без пояснений запишем как цепочку равенств:
2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 = 2 · b 2 · (a 2 + 14 a + 49) b 3 · (a 2 - 49) = = 2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a - 7) · (a + 7) = 2 · (a + 7) b · (a - 7) = 2 · a + 14 a · b - 7 · b
Ответ: 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 = 2 · a + 14 a · b - 7 · b .
Случается, что общие множители скрыты числовыми коэффициентами. Тогда при сокращении дробей оптимально числовые множители при старших степенях числителя и знаменателя вынести за скобки.
Пример 4
Дана алгебраическая дробь 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . Необходимо осуществить ее сокращение, если это возможно.
Решение
На первый взгляд у числителя и знаменателя не существует общего знаменателя. Однако, попробуем преобразовать заданную дробь. Вынесем за скобки множитель х в числителе:
1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 = x · 1 5 - 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2
Теперь видна некая схожесть выражения в скобках и выражения в знаменателе за счет x 2 · y . Вынесем за скобку числовые коэффициенты при старших степенях этих многочленов:
x · 1 5 - 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 = x · - 2 7 · - 7 2 · 1 5 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 1 5 · 3 1 2 = = - 2 7 · x · - 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 7 10
Теперь становится виден общий множитель, осуществляем сокращение:
2 7 · x · - 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 7 10 = - 2 7 · x 5 = - 2 35 · x
Ответ: 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 = - 2 35 · x .
Сделаем акцент на том, что навык сокращения рациональных дробей зависит от умения раскладывать многочлены на множители.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Цели:
1. Обучающая
- закрепить полученные знания и навыки сокращения алгебраических дробей при решении более сложных упражнений, применяя разложение на множители многочлена разными способами, отработать умения сокращать алгебраические дроби. Повторить формулы сокращённого умножения: (a+
b)2=
a2+2
ab+
b2,
(a-
b) 2 =
a 2 -2
ab+
b 2 ,
a 2 -
b 2 =(a+
b)(a-
b), способ группировки, вынесение общего множителя за скобки.
2. Развивающая – развитие логического мышления для сознательного восприятия учебного материала, внимание, активность учащихся на уроке.
3. Воспитывающая - воспитание познавательной активности, формирование личностных качеств: точность и ясность словесного выражения мысли; сосредоточенность и внимание; настойчивость и ответственность, положительной мотивации к изучению предмета, аккуратности, добросовестности и чувство ответственности.
Задачи:
1. Закрепить изученный материал, меняя виды работы, по данной теме «Алгебраическая дробь. Сокращение дробей».
2. Развивать навыки и умения, в сокращении алгебраических дробей применяя разные способы разложения на множители числителя и знаменателя, развивать логическое мышление, правильную и грамотную математическую речь, развитие самостоятельности и уверенности в своих знаниях и умениях при выполнении разных видов работ.
3. Воспитывать интерес к математике путём введения разных видов закрепления материала: устной работой, работой с учебником, работой у доски, математическим диктантом, тестом, самостоятельной работой, игрой «Математический турнир»; стимулированием и поощрением деятельности учащихся.
План:
I.
Организационный момент.
II.
Устная работа.
III.
Математический диктант.
IV.
1.Работа по учебнику и у доски.
2. Работа в группах по карточкам - игра «Математический турнир».
3. Самостоятельная работа по уровням (А, В, С).
V.
Итог.
1. Тест (взаимопроверка).
VI.
Домашнее задание.
Ход урока:
I. Организационный момент.
Эмоциональный настрой и готовность учителя и учащихся на урок. Учащиеся ставят цели и задачи – данного урока, по наводящим вопросам учителя, определяют тему урока.
II. Устная работа.
1. Сократить дроби:
2. Найдите значение алгебраической дроби:
при с = 8, с = -13, с = 11.
Ответ: 6; -1; 3.
3. Ответьте на вопросы:
1) Какой полезно соблюдать порядок при разложении многочленов на множители?
(При разложении многочленов на множители полезно соблюдать следующий порядок: а) вынести общий множитель за скобку, если он есть; б) попробовать разложить многочлен на множители по формулам сокращённого умножения; в) попытаться применить способ группировки, если предыдущие способы не привели к цели).
2) Чему равен квадрат суммы?
(Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа).
3) Чему равен квадрат разности?
(Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа).
4) Чему равна разность квадратов двух чисел?
(Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы).
5) Что необходимо выполнить при использовании способа группировки?
(Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, нужно: а) объединить члены многочлена в такие группы, которые имеют общий множитель в виде многочлена; б) вынести этот общий множитель за скобки).
6) Для вынесения общего множителя за скобки нужно……?
(Найти этот общий множитель; 2. вынести его за скобки).
7) Какие вы знаете способы разложения многочлена на множители?
(Вынесение общего множителя за скобки, способ группировки, формулы сокращённого умножения).
8) Что нужно для сокращения дроби?
(Для сокращения дроби нужно числитель и знаменатель разделить на их общий множитель).
III. Математический диктант.
I вариант:
II вариант:
I вариант:
II вариант:
в виде многочлена? Если можно представьте?
3. Какие значения буквы являются допустимыми для выражения:
I вариант:
II вариант:
(x-5)(x+7).
4. Запишите алгебраическую дробь с числителем
I вариант:
3х2.
II вариант:
5y.
и знаменателем
I вариант:
x(x+3).
II вариант:
y 2 (y+7).
и сократите её.
IV.Закрепление темы: «Алгебраическая дробь. Сокращение дробей»:
1.Работа по учебнику и у доски.
Разложить на множители числитель и знаменатель дроби и сократить её.
№441(1;3).
1. 
; 3. 
№442(1;3;5).
1. 
3. 
№443(1;3).
1. 3. 
1. 
3. 
1. 
3. 
2.Работа в группах по карточкам - игра «Математический турнир».
(Задания к игре – «Приложение 1».)
Закрепление и проверка навыков в решении примеров по данной теме проводится в виде турнира. Класс делится на группы и им предлагаются задания на карточках (карточки разных уровней).
Через определённое время, каждый ученик должен записать в тетрадь решение заданий своей команды и уметь их объяснить.
Допускаются консультации внутри команды (их проводит капитан).
Затем начинается турнир: каждая команда имеет право вызвать другие, но по одному разу. Н-р, капитан первой команды вызывает учеников из второй команды для участия в турнире; то же самое делает капитан второй команды, выходят к доске меняются карточками и решают задания и т.д.
3. Самостоятельная работа по уровням (А, Б, В)
«Дидактический материал» Л.И. Звавич и др., стр. 95, С-52.(книга имеется у всех учащихся)
А
. №1:
I вариант-1) а,б; 2) а,в; 5) а.
II вариант-1) в,г; 2) б,г, 5) в.
Б
. №2:
I вариант- а.
II вариант- б.
В
. №3:
I вариант- а.
II вариант- б.
V. Итог.
1. Тест (взаимопроверка).
(Задания к тесту – «Приложение 2».)
(на карточках для каждого учащегося, по вариантам)
VI. Домашнее задание.
1) «Д.М.» стр. 95 №1. (3,4,6);
2) №447 (чётные);
3) §24, повторить § 19 - §23.
Основано на их основном свойстве: если числитель и знаменатель дроби разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.
Сокращать можно только множители!
Члены многочленов сокращать нельзя!
Чтобы сократить алгебраическую дробь, многочлены, стоящие в числителе и знаменателе, нужно предварительно разложить на множители.
Рассмотрим примеры сокращения дробей.
В числителе и знаменателе дроби стоят одночлены. Они представляют собой произведение (чисел, переменных и их степеней), множители сокращать можем.
Числа сокращаем на их наибольший общий делитель, то есть на наибольшее число, на которое делится каждое из данных чисел. Для 24 и 36 это — 12. После сокращения от 24 остается 2, от 36 — 3.
Степени сокращаем на степень с наименьшим показателем. Сократить дробь — значит, разделить числитель и знаменатель на один и тот же делитель, а показатели вычитаем.
a² и a⁷ сокращаем на a². При этом в числителе от a² остается единица (1 пишем только в том случае, когда кроме нее после сокращения других множителей не осталось. От 24 осталась 2, поэтому 1, оставшуюся от a², не пишем). От a⁷ после сокращения остается a⁵.
b и b сокращаем на b, полученные в результате единицы не пишем.
c³º и с⁵ сокращаем на с⁵. От c³º остается c²⁵, от с⁵ — единица (ее не пишем). Таким образом,
Числитель и знаменатель данной алгебраической дроби — многочлены. Сокращать члены многочленов нельзя! (нельзя сократить, к примеру, 8x² и 2x!). Чтобы сократить эту дробь, надо . В числителе есть общий множитель 4x. Выносим его за скобки:
И в числителе, и в знаменателе есть одинаковый множитель (2x-3). Сокращаем дробь на этот множитель. В числителе получили 4x, в знаменателе — 1. По 1 свойству алгебраических дробей, дробь равна 4x.
Сокращать можно только множители (сократить данную дробь на 25x² нельзя!). Поэтому многочлены, стоящие в числителе и знаменателе дроби, нужно разложить на множители.
В числителе — полный квадрат суммы, в знаменателе — разность квадратов. После разложения по формулам сокращенного умножения получаем:
Сокращаем дробь на (5x+1) (для этого в числителе зачеркнем двойку в показатель степени, от (5x+1)² при этом останется (5x+1)):
В числителе есть общий множитель 2, вынесем его за скобки. В знаменателе — формула разности кубов:
В результате разложения в числителе и знаменателе получили одинаковый множитель (9+3a+a²). Сокращаем дробь на него:
Многочлен в числителе состоит из 4 слагаемых. первое слагаемое со вторым, третье — с четвертым и выносим из первых скобок общий множитель x². Знаменатель раскладываем по формуле суммы кубов:
В числителе вынесем за скобки общий множитель (x+2):
Сокращаем дробь на (x+2):
