Геометрическая прогрессия - это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый следующий член, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число.
Геометрическая прогрессия обозначается b1,b2,b3, …, bn, … .
Отношение любого члена геометрической погрешности к её предыдущему члену равно одному и тому же числу, то есть b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+1)/bn = … . Это следует непосредственно из определения арифметической прогрессии. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии. Обычно знаменатель геометрической прогрессии обозначают буквой q.
Одним из способов задания геометрической прогрессии является задание её первого члена b1 и знаменателя геометрической погрешности q. Например, b1=4, q=-2. Эти два условия задают геометрическую прогрессию 4, -8, 16, -32, … .
Если q>0 (q не равно 1), то прогрессия является монотонной последовательностью. Например, последовательность, 2, 4,8,16,32, … является монотонно возрастающей последовательностью (b1=2, q=2).
Если в геометрической погрешности знаменатель q=1, то все члены геометрической прогрессии будут равны между собой. В таких случаях говорят, что прогрессия является постоянной последовательностью.
Для того, чтобы числовая последовательность (bn) являлась геометрической прогрессией необходимо, чтобы каждый её член, начиная со второго, являлся средним геометрическим соседних членов. То есть необходимо выполнение следующего уравнения
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2),для любого n>0, где n принадлежит множеству натуральных чисел N.
Теперь положим (Xn) - геометрическая прогрессия. Знаменатель геометрической прогрессии q, причем |q|∞).
Если теперь за S обозначить сумму бесконечно геометрической прогрессии, тогда будет иметь место следующая формула:
S=x1/(1-q).
Рассмотрим простой пример:
Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии 2, -2/3, 2/9, - 2/27, … .
Для нахождения S воспользуемся формулой суммы бесконечно арифметической прогрессии. |-1/3| < 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.
Математика – это то, посредством чего люди управляют природой и собой.
Советский математик, академик А.Н. Колмогоров
Геометрическая прогрессия.
Наряду с задачами на арифметические прогрессии также распространенными на вступительных испытаниях по математике являются задачи, связанные с понятием геометрической прогрессии. Для успешного решения таких задач необходимо знать свойства геометрической прогрессии и иметь хорошие навыки их использования.
Настоящая статья посвящена изложению основных свойств геометрической прогрессии. Здесь также приводятся примеры решения типовых задач , позаимствованных из заданий вступительных испытаний по математике.
Предварительно отметим основные свойства геометрической прогрессии и напомним наиболее важные формулы и утверждения , связанные с этим понятием.
Определение. Числовая последовательность называется геометрической прогрессией, если каждое ее число, начиная со второго, равно предыдущему, умноженному на одно и то же число . Число называется знаменателем геометрической прогрессии.
Для геометрической прогрессии справедливы формулы
, (1)
где . Формула (1) называется формулой общего члена геометрической прогрессии, а формула (2) представляет собой основное свойство геометрической прогрессии: каждый член прогрессии совпадает со средним геометрическим своих соседних членов и .
Отметим , что именно из-за этого свойства рассматриваемая прогрессия называется «геометрической».
Приведенные выше формулы (1) и (2) обобщаются следующим образом:
, (3)
Для вычисления суммы первых членов геометрической прогрессии применяется формула
Если обозначить , то
где . Так как , то формула (6) является обобщением формулы (5).
В том случае , когда и , геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей. Для вычисления суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии используется формула
. (7)
Например , с помощью формулы (7) можно показать , что
где . Данные равенства получены из формулы (7) при условии, что , (первое равенство) и , (второе равенство).
Теорема. Если , то
Доказательство. Если , то ,
Теорема доказана.
Перейдем к рассмотрению примеров решения задач на тему «Геометрическая прогрессия».
Пример 1. Дано: , и . Найти .
Решение. Если применить формулу (5), то
Ответ: .
Пример 2. Пусть и . Найти .
Решение. Так как и , то воспользуемся формулами (5), (6) и получим систему уравнений
Если второе уравнение системы (9) разделить на первое , то или . Отсюда следует и . Рассмотрим два случая.
1. Если , то из первого уравнения системы (9) имеем .
2. Если , то .
Пример 3. Пусть , и . Найти .
Решение. Из формулы (2) следует, что или . Так как , то или .
По условию . Однако , поэтому . Поскольку и , то здесь имеем систему уравнений
Если второе уравнение системы разделить на первое, то или .
Так как , то уравнение имеет единственный подходящий корень . В таком случае из первого уравнения системы вытекает .
Принимая во внимание формулу (7), получаем.
Ответ: .
Пример 4. Дано: и . Найти .
Решение. Так как , то .
Поскольку , то или
Согласно формуле (2) имеем . В этой связи из равенства (10) получаем или .
Однако по условию , поэтому .
Пример 5. Известно, что . Найти .
Решение. Согласно теореме имеем два равенства
Так как , то или . Поскольку , то .
Ответ: .
Пример 6. Дано: и . Найти .
Решение. Принимая во внимание формулу (5), получаем
Так как , то . Поскольку , и , то .
Пример 7. Пусть и . Найти .
Решение. Согласно формуле (1) можно записать
Следовательно, имеем или . Известно, что и , поэтому и .
Ответ: .
Пример 8. Найти знаменатель бесконечной убывающей геометрической прогрессии , если
и .
Решение. Из формулы (7) следует и . Отсюда и из условия задачи получаем систему уравнений
Если первое уравнение системы возвести в квадрат , а затем полученное уравнение разделить на второе уравнение , то получим
Или .
Ответ: .
Пример 9. Найти все значения , при которых последовательность , , является геометрической прогрессией.
Решение. Пусть , и . Согласно формуле (2), которая задает основное свойство геометрической прогрессии, можно записать или .
Отсюда получаем квадратное уравнение , корнями которого являются и .
Выполним проверку: если , то , и ; если , то , и .
В первом случае имеем и , а во втором – и .
Ответ: , .
Пример 10. Решить уравнение
, (11)
где и .
Решение. Левая часть уравнения (11) представляет собой сумму бесконечной убывающей геометрической прогрессии, в которой и , при условии: и .
Из формулы (7) следует , что . В этой связи уравнение (11) принимает вид или . Подходящим корнем квадратного уравнения является
Ответ: .
Пример 11. П оследовательность положительных чисел образует арифметическую прогрессию , а – геометрическую прогрессию , причем здесь . Найти .
Решение. Так как арифметическая последовательность , то (основное свойство арифметической прогрессии). Поскольку , то или . Отсюда следует , что геометрическая прогрессия имеет вид . Согласно формуле (2) , далее запишем , что .
Так как и , то . В таком случае выражение принимает вид или . По условию , поэтому из уравнения получаем единственное решение рассматриваемой задачи , т.е. .
Ответ: .
Пример 12. Вычислить сумму
. (12)
Решение. Умножим на 5 обе части равенства (12) и получим
Если из полученного выражения вычесть (12) , то
или .
Для вычисления подставим в формулу (7) значения , и получим . Так как , то .
Ответ: .
Приведенные здесь примеры решения задач будут полезны абитуриентам при подготовке к вступительным испытаниям. Для более глубокого изучения методов решения задач , связанных с геометрической прогрессией , можно использовать учебные пособия из списка рекомендуемой литературы.
1. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И. Сканави. – М.: Мир и Образование, 2013. – 608 с.
2. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: дополнительные разделы школьной программы. – М.: Ленанд / URSS , 2014. – 216 с.
3. Медынский М.М. Полный курс элементарной математики в задачах и упражнениях. Книга 2: Числовые последовательности и прогрессии. – М.: Эдитус , 2015. – 208 с.
Остались вопросы?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Геометрическая прогрессия, наряду с арифметической, является важным числовым рядом, который изучается в школьном курсе алгебры в 9 классе. В данной статье рассмотрим знаменатель геометрической прогрессии, и то, как его значение влияет на ее свойства.
Для начала приведем определение этого числового ряда. Прогрессией геометрической называют такой ряд рациональных чисел, который формируется путем последовательного умножения его первого элемента на постоянное число, носящее название знаменателя.
Например, числа в ряду 3, 6, 12, 24, ... - это прогрессия геометрическая, поскольку если умножить 3 (первый элемент) на 2, то получим 6. Если 6 умножить на 2, то получим 12, и так далее.
Члены рассматриваемой последовательности принято обозначать символом ai, где i - это целое число, указывающее на номер элемента в ряду.
Приведенное выше определение прогрессии можно записать на языке математики следующим образом: an = bn-1 * a1, где b - знаменатель. Проверить эту формулу легко: если n = 1, то b1-1 = 1, и мы получаем a1 = a1. Если n = 2, тогда an = b * a1, и мы снова приходим к определению рассматриваемого ряда чисел. Аналогичные рассуждения можно продолжить для больших значений n.
Число b полностью определяет, какой характер будет носить весь числовой ряд. Знаменатель b может быть положительный, отрицательный, а также иметь значение больше единицы или меньше. Все перечисленные варианты приводят к разным последовательностям:
Перед тем как перейти к рассмотрению конкретных задач с использованием знаменателя рассматриваемого вида прогрессии, следует привести важную формулу для суммы ее первых n элементов. Формула имеет вид: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Получить это выражение можно самостоятельно, если рассмотреть рекурсивную последовательность членов прогрессии. Также заметим, что в приведенной формуле достаточно знать только первый элемент и знаменатель, чтобы найти сумму произвольного числа членов.
Выше было дано пояснение, что она собой представляет. Теперь, зная формулу для Sn, применим ее к этому числовому ряду. Так как любое число, модуль которого не превышает 1, при возведении в большие степени стремится к нулю, то есть b∞ => 0, если -1
Поскольку разность (1 - b) всегда будет положительной, независимо от значения знаменателя, то знак суммы убывающей бесконечно прогрессии геометрической S∞ однозначно определяется знаком ее первого элемента a1.
Теперь рассмотрим несколько задач, где покажем, как применять полученные знания на конкретных числах.
Дана прогрессия геометрическая, знаменатель прогрессии 2, а ее первый элемент 3. Чему будут равны ее 7-й и 10-й члены, и какова сумма ее семи начальных элементов?
Условие задачи составлено достаточно просто и предполагает непосредственное использование вышеназванных формул. Итак, для вычисления элемента с номером n используем выражение an = bn-1 * a1. Для 7-го элемента имеем: a7 = b6 * a1, подставляя известные данные, получаем: a7 = 26 * 3 = 192. Аналогичным образом поступаем для 10-го члена: a10 = 29 * 3 = 1536.
Воспользуемся известной формулой для суммы и определим эту величину для 7-ми первых элементов ряда. Имеем: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Пусть -2 равен знаменатель прогрессии в геометрической прогрессии bn-1 * 4, где n - целое число. Необходимо определить сумму с 5-го по 10-й элемент этого ряда включительно.
Поставленная проблема не может быть решена непосредственно с использованием известных формул. Решить ее можно 2-мя различными методами. Для полноты изложения темы приведем оба.
Метод 1. Идея его проста: необходимо рассчитать две соответствующие суммы первых членов, а затем вычесть из одной другую. Вычисляем меньшую сумму: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Теперь вычисляем большую сумму: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Отметим, что в последнем выражении суммировались только 4 слагаемых, поскольку 5-е уже входит в сумму, которую требуется вычислить по условию задачи. Наконец, берем разницу: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Метод 2. Перед тем, как подставлять цифры и считать, можно получить формулу для суммы между членами m и n рассматриваемого ряда. Поступаем абсолютно так же, как в методе 1, только работаем сначала с символьным представлением суммы. Имеем: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1). В полученное выражение можно подставлять известные числа и вычислять конечный результат: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Пусть a1 = 2, найдите знаменатель прогрессии геометрической, при условии, что ее бесконечная сумма составляет 3, и известно, что это убывающий ряд чисел.
По условию задачи нетрудно догадаться, какой формулой следует пользоваться для ее решения. Конечно же, для суммы прогрессии бесконечно убывающей. Имеем: S∞ = a1 / (1 - b). Откуда выражаем знаменатель: b = 1 - a1 / S∞. Осталось подставить известные значения и получить требуемое число: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 или -0,333(3). Можно качественно проверить этот результат, если вспомнить, что для этого типа последовательности модуль b не должен выходить за пределы 1. Как видно, |-1 / 3|
Пусть даны 2 элемента числового ряда, например, 5-й равен 30 и 10-й равен 60. Необходимо по этим данным восстановить весь ряд, зная, что он удовлетворяет свойствам прогрессии геометрической.
Чтобы решить задачу, необходимо для начала записать для каждого известного члена соответствующее выражение. Имеем: a5 = b4 * a1 и a10 = b9 * a1. Теперь разделим второе выражение на первое, получим: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Отсюда определяем знаменатель, взяв корень пятой степени от отношения известных из условия задачи членов, b = 1,148698. Полученное число подставляем в одно из выражений для известного элемента, получаем: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.
Таким образом, мы нашли, чему равен знаменатель прогрессии bn, и геометрическую прогрессию bn-1 * 17,2304966 = an, где b = 1,148698.
Если бы не существовало применения этого числового ряда на практике, то его изучение сводилось бы к чисто теоретическому интересу. Но такое применение существует.
Ниже перечислены 3 самых знаменитых примера:
Некоторые задачи физики и математики могут быть решены с использованием свойств числовых рядов. Две самых простых числовых последовательности, которые изучаются в школах, это алгебраическая и геометрическая. В данной статье рассмотрим подробнее вопрос, как найти сумму бесконечной прогрессии геометрической убывающей.
Под этими словами понимают такой ряд действительных чисел, элементы a i которого удовлетворяют выражению:
Здесь i - номер элемента в ряду, r - постоянное число, которое называется знаменателем.
Это определение показывает, что, зная любой член прогрессии и его знаменатель, можно восстановить весь ряд чисел. Например, если известен 10-й элемент, то разделив его на r, получим 9-й элемент, затем, разделив еще раз, получим 8-й и так далее. Эти простые рассуждения позволяют записать выражение, которое справедливо для рассматриваемого ряда чисел:
Примером прогрессии со знаменателем 2 может быть такой ряд:
1, 2, 4, 8, 16, 32, ...
Если же знаменатель будет равен -2, тогда получается совершенно другой ряд:
1, -2, 4, -8, 16, -32, ...
Прогрессия геометрическая является гораздо более быстрой, чем алгебраическая, то есть ее члены быстро растут и быстро уменьшаются.
Для решения практических задач часто приходиться вычислять сумму нескольких элементов рассматриваемой числовой последовательности. Для этого случая справедлива следующая формула:
S i = a 1 *(r i -1)/(r-1)
Видно, что для вычисления суммы i членов необходимо знать всего два числа: a 1 и r, что является логичным, поскольку они однозначно определяют всю последовательность.
Теперь рассмотрим частный случай. Будем считать, что модуль знаменателя r не превышает единицы, то есть -1 Убывающую геометрическую прогрессию интересно рассмотреть, потому что бесконечная сумма ее членов стремится к конечному действительному числу. Получим формулу суммы Это легко сделать, если выписать выражение для S i , приведенного в предыдущем пункте. Имеем: S i = a 1 *(r i -1)/(r-1) Рассмотрим случай, когда i->∞. Поскольку модуль знаменателя меньше 1, то возведение его в бесконечную степень даст ноль. Это можно проверить на примере r=0,5: 0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009. В итоге сумма членов бесконечной геометрической прогрессии убывающей примет форму: Эта формула часто используется на практике, например, для вычисления площадей фигур. Ее также применяют при решении парадокса Зенона Элейского с черепахой и Ахиллесом. Очевидно, что рассмотрение суммы бесконечной прогрессии геометрической возрастающей (r>1), приведет к результату S ∞ = +∞. Покажем, как следует применять приведенные выше формулы на примере решения задачи. Известно, что сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 11. При этом 7-й ее член в 6 раз меньше третьего члена. Чему равен первый элемент для этого числового ряда? Для начала выпишем два выражения для определения 7-го и 3-го элементов. Получаем: Разделив первое выражение на второе, и выражая знаменатель, имеем: a 7 /a 3 = r 4 => r = 4 √(a 7 /a 3) Поскольку отношение седьмого и третьего членов дано в условии задачи, можно его подставить и найти r: r = 4 √(a 7 /a 3) = 4 √(1/6) ≈ 0,63894 Мы рассчитали r с точностью пяти значащих цифр после запятой. Поскольку полученное значение меньше единицы, значит, прогрессия является убывающей, что оправдывает использование формулы для ее бесконечной суммы. Запишем выражение для первого члена через сумму S ∞ : Подставляем в эту формулу известные значения и получаем ответ: a 1 = 11*(1-0,63894) = 3,97166. Зенон Элейский - известный греческий философ, живший в V веке до н. э. До настоящего времени дошли ряд его апогей или парадоксов, в которых формулируется проблема бесконечно большого и бесконечно малого в математике. Одним из известных парадоксов Зенона являются соревнования Ахиллеса и черепахи. Зенон полагал, что если Ахиллес предоставит некоторое преимущество черепахе в расстоянии, то он никогда не сможет ее догнать. Например, пусть Ахиллес бежит в 10 раз быстрее, чем ползет животное, которое для примера находится на расстоянии 100 метров впереди него. Когда воин пробежит 100 метров, то черепаха отползет на 10. Пробежав вновь 10 метров, Ахиллес увидит, что черепаха отползла еще на 1 метр. Рассуждать так можно до бесконечности, расстояние будет между соревнующимися действительно уменьшаться, но черепаха будет всегда находиться впереди. Привел Зенона к выводу, что движения не существует, и все окружающие перемещения объектов - это иллюзия. Конечно же, древнегреческий философ ошибался. Решение парадокса кроется в том, что бесконечная сумма постоянно уменьшающихся отрезков, стремится к конечному числу. В приведенном выше случае для расстояния, которое пробежал Ахиллес, получим: 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ... Применяя формулу суммы бесконечной прогрессии геометрической, получим: S ∞ = 100 /(1-0,1) ≈ 111,111 метров Этот результат показывает, что Ахиллес догонит черепаху, когда она проползет всего 11,111 метров. Древние греки не умели работать с бесконечными величинами в математике. Однако этот парадокс можно разрешить, если обратить внимание не на бесконечное число промежутков, которые должен преодолеть Ахиллес, а на конечное число шагов бегуна, необходимых для достижения цели. Геометрическая прогрессия
не менее важная в математике по сравнению с арифметической. Геометрической прогрессией называют такую последовательность чисел b1, b2,..., b[n]
каждый следующий член которой, получается умножением предыдущего на постоянное число. Это число, которое также характеризует скорость роста или убывания прогрессии называют знаменателем геометрической прогрессии
и обозначают Для полного задания геометрической прогрессии кроме знаменателя необходимо знать или определить первый ее член. Для положительного значения знаменателя прогрессия является монотонной последовательностью, причем если это последовательность чисел является монотонно убывающей и при монотонно возрастающей. Случай, когда знаменатель равен единице на практике не рассматривается, поскольку имеем последовательность одинаковых чисел, а их суммирование не вызывает практического интереса Общий член геометрической прогрессии
вычисляют по формуле Сумма n
первых членов геометрической прогрессии
определяют по формуле Рассмотрим решения классических задач на геометрическую прогрессию. Начнем для понимания с простейших. Пример 1.
Первый член геометрической прогрессии равен 27, а ее знаменатель равен 1/3. Найти шесть первых членов геометрической прогрессии. Решение:
Запишем условие задачи в виде Для вычислений используем формулу n-го члена геометрической прогрессии На ее основе находим неизвестные члены прогрессии Как можно убедиться, вычисления членов геометрической прогрессии несложные. Сама прогрессия будет выглядеть следующим образом Пример 2.
Даны три первых члена геометрической прогрессии : 6; -12; 24. Найти знаменатель и седьмой ее член. Решение:
Вычисляем знаменатель геомитрической прогрессии исходя из его определения Получили знакопеременную геометрическую прогрессию знаменатель которой равен -2. Седьмой член вычисляем по формуле На этом задача решена. Пример 3.
Геометрическая прогрессия задана двумя ее членами Решение:
Запишем заданные значения через формулы По правилам нужно было бы найти знаменатель, а затем искать нужное значение, но для десятого члена имеем Такую же формулу можно получить на основе нехитрых манипуляций с входными данными. Разделим шестой член ряда на другой, в результате получим Если полученное значение умножить на шестой член, получим десятый Таким образом, для подобных задач с помощью несложных преобразований в быстрый способ можно отыскать правильное решение. Пример 4.
Геометрическая прогрессия задано рекуррентными формулами Найти знаменатель геометрической прогрессии и сумму первых шести членов. Решение:
Запишем заданные данные в виде системы уравнений Выразим знаменатель разделив второе уравнение на первое Найдем первый член прогрессии из первого уравнения Вычислим следующие пять членов для нахождения суммы геометрической прогрессии
Задача на нахождение первого члена прогрессии
Знаменитый парадокс Зенона с быстрым Ахиллесом и медленной черепахой
. Найти десятый член прогрессии.
