Макияж. Уход за волосами. Уход за кожей

Понятие функции Способы задания функции Примеры функций Аналитическое задание функции Графический способ задания функции Предел функции в точке Табличный способ задания функции теоремы о пределах единственность предела ограниченность функции, имеющей предел переход к пределу в неравенстве Предел функции в бесконечности Бесконечно малые функции Свойства бесконечно малых функций

Понятие функции является основным и первоначальным, как и понятие множества. Пусть X - некоторое множество действительных чисел х. Если каждому х € X по некоторому закону поставлено в соответствие определенное действительное число у, то говорят, что на множестве X задана функция и пишут Введенную таким образом функцию называют числовой. При этом множество X называют областью onределения функции, а независимую переменную х - аргументом. Для указания функции иногда используют только символ, которым обозначен закон соответствия, т. е. вместо f(x) п и шут просто /. Таким образом, функция задана, если указаны 1) область определения 2) правило /, которое каждому значению а: € X ставит в соответствие определенное число у = /(х) - значение функции, отвечающее этому значению аргумента х. Функции / и g называют равными, если их области определения совпадают и равенство f(x) = g(x) верно для любого значения аргумента х из их обшей области определения. Так, функции у, не являются равными; они равны только на отрезке [О, I]. Примеры функций. 1. Последовательность {о„} есть функция целочисленного аргумента, определенная на множестве натуральных чисел, такая, что /(п) = ап (п = 1,2,...). 2. Функция у = п? (читается «эн-факториал»). Задана на множестве натуральных чисел: каждому натуральному числу п ставится в соответствие произведение всех натуральных чисел от 1 до п включительно: причем условно полагают 0! = 1. Обозначение sign происходит от латинского слова signum - знак. Эта функция определена на всей числовой прямой множество ее значений состоит из трех чисел -1,0, I (рис. 1). у = |х), где (х) обозначает целую часть действительного числа х, т. е. [х| - наибольшее целое число, не превосходящее Читается: -игрек равно антье икс» (фр. entier). Эта функция задана на всей числовой оси, а множество всех ее значений состоит из целых чисел (рис. 2). Способы задания функции Аналитическое задание функции Функция у = f(x) называется заданной аналитически, если она определяется с помощью формулы, указывающей, какие действия надо произвести над каждым значением х, чтобы получить соответствующее значение у. Например, функция задана аналитически. При этом под областью определения функции (если она заранее не указана) понимается множество всех действительных значений аргумента х, при которых аналитическое выражение, определяющее функцию, принимает лишь действительные и конечные значения. В этом смысле область определения функции называют также ее областью существования. Для функции областью определения является отрезок Для функции у - sin х область определения - вся числовая ось. Заметим, что не всякая формула определяет функцию. Например, формула никакую функцию не определяет, так как нет ни одного действительного значения х, при котором имели б ы действительные значения оба написанных выше корня. Аналитическое задание функции может выглядеть достаточно сложно. В частности, функция может быть задана различными формулами на различных частях своей области определения. Например, функция может быть определена так: 1.2. Графический способ задания функции Функция у = f(x) называется заданной графически, если задан ее график, т.е. множество точек (ху/(х)) на плоскости хОу, абсциссы которых принадлежат области определения функции, а ординаты равны соответствующим значениям функции (рис.4). Не для каждой функции ее график можно изобразить на рисунке. Например, функция Дирихле если х - рациональное, если х - иррациональное, ZX \о, не допускает такого изображения. Функция Я(х) задана на всей числовой оси, а множество ее значений состоит из двух чисел 0 и 1. 1.3. Табличный способ задания функции Функция называется заданной таблично, если приведена таблица, в которой указаны численные значения функции для некоторых значений аргумента. При табличном задании функции ее область определения состоит только из значений x\t x2i..., хп, перечисленных в таблице. §2. Предел функции в точке Понятие предела функции является центральным в математическом анализе. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности Q точки xq, кроме, быть может, самой точки доопределение (Коши). Число А называется пределом функции f(x) в точке хо, если для любого числа е > 0. которое может быть как угодно малым, существует число <5 > 0, такое, что для всех iGH.i^ ж0, удовлетворяющих условию верно неравенство Понятие функции Способы задания функции Примеры функций Аналитическое задание функции Графический способ задания функции Предел функции в точке Табличный способ задания функции теоремы о пределах единственность предела ограниченность функции, имеющей предел переход к пределу в неравенстве Предел функции в бесконечности Бесконечно малые функции Свойства бесконечно малых функций Обозначение: С помощьюлогическихсимволов это определение выражается следующим образом Примеры. 1. Пользуясь определением предела функции в точке, показать, что Функция определена всюду, включая точку zo = 1: /(1) = 5. Возьмем любое. Для того, чтобы неравенство |(2х + 3) - 5| имело место, необходимо выполнение следующих неравенств Следовательно, если взять будем иметь. Это означает, что число 5 есть предел функции: в точке 2. Пользуясь определением предела функции, показать, что Функция не определена в точке хо = 2. Рассмотрим /(х) в некоторой окрестности точки-Xq = 2, например, на интервале (1, 5), не содержащем точку х = 0, в которой функция /(х) также не определена. Возьмем произвольное число с > 0 и преобразуем выражение |/(х) - 2| при х ф 2 следующим образом Для х б (1, 5) получаем неравенство Отсюда видно, что если взять 6 = с, то для всех х € (1,5), подчиненных условию будет верно неравенство Это означает, что число Л - 2 является пределом данной функции в точке Дадим геометрическое пояснение понятия предела функции в точке, обратившись к ее графику (рис. 5). При х значения функции /(х) определяются ординатами точек кривой М\М,при х > хо - ординатами точек кривой ММ2. Значение /(х0) определяется ординатой точки N. График данной функции получается, если взять «хорошую» кривую М\ММг и точку М(х0, А) на кривой заменитьточкой jV. Покажем, что в точке хо функция /(х) имеет предел, равный числу А (ординате точки М). Возьмем любое (как угодно малое) число е > 0. Отметим на оси Оу точки с ординатами А, А - е, А + е. Обозначим через Р и Q точки пересечения графика функции у = /(х) с прямыми у = А- епу = А + е. Пусть абсциссы этих точек есть х0 - Ль х0 + hi соответственно (ht > 0, /12 > 0). Из рисунка видно, что для любого х Ф х0 из интервала (х0 - h\, х0 + hi) значение функции /(х) заключено между. для всех х ^ хо, удовлетворя ющих условию верно неравенство Положим Тогда интервал будет содержаться в интервале и, следовательно, неравенство или, что тоже, будет выполнено для всех х, удовлетворяющих условию Это доказывает, что Таким образом, функция у = /(х) имеетпредел А вточкехо, если, какой быузкой ни была е-полоска между прямыми у = А- ену = А + е, найдется такое «5 > 0, что для всех х из проколотой окрестности точки х0 точки графика функции у = /(х) оказываются внутри указанной е-полоски. Замечание 1. Величина б зависитот е: 6 = 6(e). Замечание 2. В определении предела функции в точке Xq сама точка хо из рассмотрения исключается. Таким образом, значение функции в точке Хо нс влияет на предел функции в этой точке. Более того, функция может быть даже не определена в точке Xq. Поэтому две функции, равные в окрестности точки Xq, исключая, быть может, саму точку хо (в ней они могут иметь разные значения, одна из них или обе вместе могут быть не определены), имеют при х - Xq один и тот же предел или обе не имеют предела. Отсюда, в частности, следует, чтодля отыскания вточке хо предела дроби законно сокращать эту дробь на равные выражения, обращающиеся в нуль при х = Xq. Пример 1. Найти Функция /(х) = j для всех х Ф 0 равна единице, а в точке х = 0 не определена. Заменив /(х) на равную ей при х 0 функцию д(х) = 1, получаем Понятие функции Способы задания функции Примеры функций Аналитическое задание функции Графический способ задания функции Предел функции в точке Табличный способ задания функции теоремы о пределах единственность предела ограниченность функции, имеющей предел переход к пределу в неравенстве Предел функции в бесконечности Бесконечно малые функции Свойства бесконечно малых функций Пример 2. Найти lim /(х), где Функция, совпадает с функцией /(х) всюду, исключая точку х = 0, и имеет в точке х = 0 предел, равный нулю: lim д(х) = 0 (покажите это!). Поэтому lim /(х) = 0. Задача. Сформулировать с помощью неравенств (на языке е -6), что означает Пусть функция /(я) определена в некоторой окрестности П точки х0, кроме, быть может, самой точки х0. Определение (Гейне). Число А называется пределом функции /(х) в точке х0, если для любой последовательности {хп} значений аргумента х 6 П, z„ / х0), сходящейся к точке х0, соответствующая последовательность значений функции {/(х„)} сходится к числу А. Приведенным определением удобно пользоваться, когда надо установить, что функция /(х) не имеет предела в точке х0. Для этого достаточно найти какую-нибудь последовательность {/(хп)}, не имеющую предела, или же указать две последовательности {/(хп)} и {/(х"п)}, имеющие различные пределы. Покажем, например, чтофунк-иия /(х) = sin j (рис.7), определенная ВСЮДУ, Кроме ТОЧКИ X = О, Рис.7 н е имеет предела в точке х = 0. Рассмотрим две последовательности {, сходящиеся к точке х = 0. Соответствующие последовательности значений функции /(х) сходятся к разным пределам: последовательность {sinnTr} сходится к нулю, а последовательность {sin(5 + - к единице. Это означает, что функция /(х) = sin j в точке х = 0 предела не имеет. Замечание. Оба определения предела функии» в точке (определение Коши и определение Гейне) равносильны. §3. Теоремы о пределах Теорема 1 (единственность предела). Если функция f(x) имеет предел в точке хо, то этот предел единственный. А Пусть lim /(х) = А. Покажем, что никакое число В ф А не может быть пределом х-х0 функции /(х) вточкех0. Тотфакт,что lim /(х) ф Вспомощьюлогическихсимволов ХО формулируется так: Воспользовавшись неравенством получаем, Возьмем е = > 0. Поскольку lim /(х) = А, для выбранного е > 0 найдется 6 > 0 такое, что Из соотношения (1) для указанных значений х имеем Итак, нашлось такое, что каким бы малым ни было существуют х Ф xQ, такие, что и вместе с тем ^ е. Отсюда В Определение. Функция /(х) называется ограниченной в окрестности точки х0> если существуют числа М > 0 и 6 > 0 такие, что Теорема 2 (ограниченность функции, имеющей предел). Если функция f{x) определена в окрестности точки х0 и имеет в точке х0 конечный предел, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки. м Пусть Тогда для любого например, для е = 1, найдется такое 6 > О, что для всех х Ф х0, удовлетворяющих условию будет верно неравенство Замечая, что всегда получим Положим. Тогда в каждой точке х интервала будем иметь Это означает, согласно определению, что функция /(х) ограничена в окрестности Напротив, из ограниченности функции /(х) в окрестности точки х0 не следует существования предела функции /(х) в точке х0. Например, функция /(х) = sin офаничена в окрестности точки но не имеет предела в точке х = 0. Сформулируем еще две теоремы, геометрический смысл которыхдостаточноясен. Теорема 3 (переход к пределу в неравенстве). Если /(х) ^ ip(x) для всех х из некоторой окрестности точки х0, кроме, быть может, самой точки х0, и каждая из функций /(х) и ip(x) в точке х0 имеет предел, то Заметим, что из строгого неравенства для функций не обязательно следует строгое неравенство для их пределов. Если эти пределы существуют, то мы можем утверждать лишь, что Так, например, для функций выполнено неравенство в то время как Теорема 4 (предел промежуточной функции). Если для всех х в некоторой окрестности точки Xq, кроме, быть может, самой точки х0 (рис.9), и функции f{x) и ip(x) в точке хо имеют один и тот же предел А, то и функция f(x) в точке х0 имеет предел, равный этому же чиыу А. § 4. Предел функции в бесконечности Пусть функция /(х) определена либо на всей числовой оси, либо по крайней мерс для всех х, удовлетворяющих условию jx| > К при некотором К > 0. Определение. Число А называют пределом функции f(x) при х, стремящемся к бесконечности, и пишут если для любого е > 0 существует число jV > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих условию |х| > Лг, верно неравенство Заменив в этом определении условие соответственно, получим определения Из этих определений следует, что тогда и только тогда, когда одновременно Тот факт, геометрически означает следующее: какой бы узкой ни была е-полоска между прямыми у = А- еиу = А + е, найдется такая прямая х = N >0, что правее нес график функции у = /(ж) целиком содержится в указанной е-полоске (рис. 10). В этом случае говорят, что при х +оо график функции у = /(ж) асимптотически приближается к прямой у = А. Пример, Функция /(х) = jtjj- определена на всей числовой оси и представляет собой дробь, у которой числитель постоянен, а знаменатель неограниченно возрастает при |х| +оо. Естественно ожидать, что lim /(х)=0. Покажем это. М Возьмем любое е > 0, подчиненное условию Чтобы имело место соотношение должно выполняться неравенство с или, что то же, откуда Таким образом. если взять будем иметь. Это означает, что число есть предел данной функции при Заметим, что подкоренное выражение лишь для t ^ 1. В случае, когда, неравенство с выполняется автоматически для всех График четной функции у = - асимптотически приближается к прямой Задача. Сформулировать с помощью неравенств, что означает §5. Бесконечно малые функции Пусть функция а(х) определена в некоторой окрестности точки хо, кроме, быть может, самой точки х0. Определение. Функция а(х) называется бесконечно малой функцией (сокращенно б. м. ф.) при х, стремящемся к хо, если Понятие функции Способы задания функции Примеры функций Аналитическое задание функции Графический способ задания функции Предел функции в точке Табличный способ задания функции теоремы о пределах единственность предела ограниченность функции, имеющей предел переход к пределу в неравенстве Предел функции в бесконечности Бесконечно малые функции Свойства бесконечно малых функций Например, функция а(х) = х - 1 является б. м. ф. при х 1,таккак lim(x-l) = 0. График функции у = х-1 1-1 изображен на рис. II. Вообще, функция а(х)=х-х0 является простейшим примером б. м. ф. при х-»хо. Принимая во внимание определение предела функции вточке, определение б. м. ф. можно сформулировать так. Определение. Функция а(х) называется бесконечно малой при х -* хо, если для любого £ > 0 существует такое «5 > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию, верно неравенство Наряду с понятием бесконечно малой функции при х хо вводится понятие бесконечно малой функции при Определение. Функция а(х) называется бесконечно малой при х -» оо, если то функция а(х) называется бесконечно малой соответственно при или при Например, функция является бесконечно малой при х -» оо, поскольку lim j = 0. Функция а(х) = е~х естьбесконечно малая функция при х-* +оо, так как В дальнейшем все понятия и теоремы, связанные с пределами функций, мы будем, как правило, рассматривать только применительнок случаю предела функции в точке, предоставляя читателю самому сформулировать соответствующие понятия и доказать аналогичные теоремы дня случаев, когда Свойства бесконечно малых функций Теорема 5. Если а{х) и Р(х) - б. м. ф. при х -* хо, то их сумма а(х) + Р(х) есть также б.м. ф. при х -» хо. 4 Возьмем любое е > 0. Так как а(х) - б.м.ф. при х -* хо, то найдется «51 > 0 такое, что для всех х Ф хо, удовлетворяющих условию верно неравенство По условию Р{х) также б.м.ф. при х хо, поэтому найдется такое, что для всех х Ф хо, удовлетворяющих условию верно неравенство Положим 6 = min{«5j, 62}. Тогда для всех х Ф хо, удовлетворяющих условию будут одновременно верны неравенства (1) и (2). Поэтому Это означает, что сумма а(х) +/3(х) есть б.м.ф. при х xq. Замечание. Теорема остается справедливой для суммы любого конечного числа функций, б. м. при х zo. Теорема б (произведение б. м. ф. на ограниченную функцию). Если функция а(х) является б. м. ф. при х -* х0, а функция f(x) ограничена в окрестности точки Хо, то произведение а(х)/(х) есть б. м. ф. при х -» х0. По условию функция /(х) ограничена в окрестности точки х0. Это означает, что существуют такие числа 0 и М > 0, что Возьмем любое е > 0. Так как по условию, то найдется такое 62 > 0, что для всех х ф х0, удовлетворяющих условию |х - xol , будет верно неравенство Положим я всех х ф х0, удовлетворяющих условию |х - х0|, будут одновременно верны неравенства Поэтому Это означает, что произведение а(х)/(х) есть б. м.ф. при Пример. Функцию у = xsin - (рис.12) можно рассматривать как произведение функций a(ar) = х и f(x) = sin j. Функция а(аг) есть б. м. ф. при х - 0, а функция f обозначают наибольшее из целых чисел, которое не превышает x. Иными словами, если x = r + q, где r - целое число (может быть и отрицательным) и qпринадлежит интервалу = r. Функция E(x) = [x] постоянна на промежутке = r.

Пример 2: функция y = {x} - дробная часть числа. Точнее y ={x} = x - [x], где [x] - целая часть числа x. Эта функция определена для всех x. Если x - произвольное число, то представив его в виде x = r + q (r = [x]), где r - целое число и q лежит в интервале .
Мы видим,что добавление n к аргументу x, не меняет значение функции.
Наименьшее отличное от нуля число из n есть , таким образом, это период sin 2x .

Значение аргумента, при котором функция равна 0, называется нулём (корнем ) функции.

Функция может иметь несколько нулей.

Например, функция y = x (x + 1)(x-3) имеет три нуля: x = 0, x = - 1, x =3 .

Геометрически нуль функции – это абсцисса точки пересечения графика функции с осью Х .

На рис.7 представлен график функции с нулями: x = a, x = b и x = c .

Если график функции неограниченно приближается к некоторой прямой при своём удалении от начала координат, то эта прямая называется асимптотой .

Обратная функция

Пусть задана функция у=ƒ(х) с областью определения D и множеством значений Е. Если каждому значению уєЕ соответствует единственное значение хєD, то определена функция х=φ(у) с областью определения Е и множеством значений D (см. рис. 102).

Такая функция φ(у) называется обратной к функции ƒ(х) и записывается в следующем виде: х=j(y)=f -1 (y).Про функции у=ƒ(х) и х=φ(у) говорят, что они являются взаимно обратными. Чтобы найти функцию х=φ(у), обратную к функции у=ƒ (х), достаточно решить уравнение ƒ(х)=у относительно х (если это возможно).

1. Для функции у=2х обратной функцией является функция х=у/2;

2.Для функции у=х2 хє обратной функцией является х=√у; заметим, что для функции у=х 2 , заданной на отрезке [-1; 1], обратной не существует, т. к. одному значению у соответствует два значения х (так, если у=1/4, то х1=1/2, х2=-1/2).

Из определения обратной функции вытекает, что функция у=ƒ(х) имеет обратную тогда и только тогда, когда функция ƒ(х) задает взаимно однозначное соответствие между множествами D и Е. Отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обратную. При этом если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).

Заметим, что функция у=ƒ(х) и обратная ей х=φ(у) изображаются одной и той же кривой, т. е. графики их совпадают. Если же условиться, что, как обычно, независимую переменную (т. е. аргумент) обозначить через х, а зависимую переменную через у, то функция обратная функции у=ƒ(х) запишется в виде у=φ(х).

Это означает, что точка M 1 (x o ;y o) кривой у=ƒ(х) становится точкой М 2 (у о;х о) кривой у=φ(х). Но точки M 1 и М 2 симметричны относительно прямой у=х (см. рис. 103). Поэтому графики взаимно обратных функции у=ƒ(х) и у=φ(х) симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Сложная функция

Пусть функция у=ƒ(u) определена на множестве D, а функция u= φ(х) на множестве D 1 , причем для  x D 1 соответствующее значение u=φ(х) є D. Тогда на множестве D 1 определена функция u=ƒ(φ(х)), которая называется сложной функцией от х (или суперпозицией заданных функций, или функцией от функции).

Переменную u=φ(х) называют промежуточным аргументом сложной функции.

Например, функция у=sin2x есть суперпозиция двух функций у=sinu и u=2х. Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.

4. Основные элементарный функции и их графики.

Основными элементарными функциями называют следующие функции.

1) Показательная функция у=a х,a>0, а ≠ 1. На рис. 104 показаны графики показательных функций, соответствующие различным основаниям степени.

2) Степенная функция у=х α , αєR. Примеры графиков степенных функций, соответствующих различным показателям степени, предоставлены на рисунках

3)Логарифмическая функция y=log a x, a>0,a≠1;Графики логарифмических функций, соответствующие различным основаниям, показаны на рис. 106.

4) Тригонометрические функции у=sinx, у=cosx, у=tgх, у=ctgx; Графики тригонометрических функций имеют вид, показанный на рис. 107.

5) Обратные тригонометрические функции у=arcsinx, у=arccosх, у=arctgx, у=arcctgx. На рис. 108 показаны графики обратных тригонометрических функций.

Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операций взятия функции от функции, называется элементарной функцией.

Примерами элементарных функций могут служить функции

Примерами неэлементарных функций могут служить функции

5. Понятия предела последовательности и функции. Свойства пределов.

Преде́л фу́нкции (предельное значение функции ) в заданной точке,предельной для области определения функции, - такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке.

В математике пределом последовательности элементов метрического пространства или топологического пространства называют элемент того же пространства, который обладает свойством «притягивать» элементы заданной последовательности. Пределом последовательности элементовтопологического пространства является такая точка, каждая окрестность которой содержит все элементы последовательности, начиная с некоторого номера. В метрическом пространстве окрестности определяются через функцию расстояния, поэтому понятие предела формулируется на языке расстояний. Исторически первым было понятиепредела числовой последовательности, возникающее в математическом анализе, где оно служит основанием для системы приближений и широко используется при построении дифференциального и интегральногоисчислений.

Обозначение:

(читается: предел последовательности икс-энное при эн, стремящемся к бесконечности, равен a )

Свойство последовательности иметь предел называют сходимостью : если у последовательности есть предел, то говорят, что данная последовательность сходится ; в противном случае (если у последовательности нет предела) говорят, что последовательность расходится . В хаусдорфовом пространстве и, в частности, метрическом пространстве , каждая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится, и её предел совпадает с пределом исходной последовательности. Другими словами, у последовательности элементов хаусдорфово пространства не может быть двух различных пределов. Может, однако, оказаться, что у последовательности нет предела, но существует подпоследовательность (данной последовательности), которая предел имеет. Если из любой последовательности точек пространства можно выделить сходящуюся подпоследовательность, то, говорят, что данное пространство обладает свойством секвенциальной компактности (или, просто, компактности, если компактность определяется исключительно в терминах последовательностей).

Понятие предела последовательности непосредственно связано с понятием предельной точки (множества): если у множества есть предельная точка, то существует последовательность элементов данного множества, сходящаяся к данной точке.

Определение

Пусть дано топологическое пространство и последовательность Тогда, если существует элемент такой, что

где - открытое множество, содержащее , то он называется пределом последовательности . Если пространство является метрическим, то предел можно определить с помощью метрики: если существует элемент такой, что

где - метрика, то называется пределом .

· Если пространство снабжено антидискретной топологией, то пределом любой последовательности будет любой элемент пространства.

6. Предел функции в точке. Односторонние пределы.

Функция одной переменной. Определение предела функции в точке по Коши. Число b называется пределом функции у = f (x ) при х , стремящемся к а (или в точке а ), если для любого положительного числа  существует такое положительное число , что при всех х ≠ а, таких, что |x – a | < , выполняется неравенство
| f (x ) – a | <  .

Определение предела функции в точке по Гейне. Число b называется пределом функции у = f (x ) при х , стремящемся к а (или в точке а ), если для любой последовательности {x n }, сходящейся к а (стремящейся к а , имеющей пределом число а ), причем ни при каком значении n х n ≠ а , последовательность {y n = f (x n)} сходится к b .

Данные определения предполагают, что функция у = f (x ) определена в некоторой окрестноститочки а , кроме, быть может, самой точки а .

Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне эквивалентны: если число b служит пределом по одному из них, то это верно и по второму.

Указанный предел обозначается так:

Геометрически существование предела функции в точке по Коши означает, что для любого числа > 0 можно указать на координатной плоскости такой прямоугольник с основанием 2 > 0, высотой 2 и центром в точке (а; b ), что все точки графика данной функции на интервале (а – ; а + ), за исключением, быть может, точки М (а ; f (а )), лежат в этом прямоугольнике

Односторо́нний преде́л в математическом анализе - предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва ) и правосторо́нним преде́лом (преде́лом спра́ва ). Пусть на некотором числовом множестве задана числовая функция и число - предельная точка области определения . Существуют различные определения для односторонних пределов функции в точке , но все они эквивалентны.

является заданной, иначе говоря, известной, если для каждого значения возможного числа аргументов можно узнать соответствующее значение функции. Наиболее распространенные три способа задания функции : табличный, графический, аналитический, существуют еще словесный и рекурсивный способы.

1. Табличный способ наиболее широко распространен (таблицы логарифмов , квадратных корней), основное его достоинство - возможность получения числового значения функции , недостатки заключаются в том, что таблица может быть трудно читаема и иногда не содержит промежуточных значений аргумента.

Например:

Аргумент х принимает заданные в таблице значения, а у определяется соответственно этому аргументу х .

2. Графический способ заключается в проведении линии (графика), у которой абсциссы изображают значения аргумента, а ординаты - соответствующие значения функции . Часто для наглядности масштабы на осях принимают разными.

Например: для нахождения по графику у , которому соответствует х = 2,5 необходимо провести перпендикуляр к оси х на отметке 2,5 . Отметку можно довольно точно сделать с помощью линейки. Тогда найдем, что при х = 2,5 у равно 7,5 , однако если нам необходимо найти значение у при х равном 2,76 , то графический способ задания функции не будет достаточно точным, т.к. линейка не дает возможности для столь точного замера.

Достоинства этого способа задания функций заключаются в легкости и целостности восприятия, в непрерывности изменения аргумента; недостатком является уменьшение степени точности и сложность получения точных значений.

3. Аналитический способ состоит в задании функции одной или несколькими формулами. Основным достоинством этого способа является высокая точность определения функции от интересующего аргумента, а недостатком является затрата времени на проведение дополнительных математических операций.

Например:

Функцию можно задать с помощью математической формулы y= x 2 , тогда если х равно 2 , то у равно 4, возводим х в квадрат.

4. Словесный способ состоит в задании функции обычным языком, т.е. словами. При этом необходимо дать входные, выходные значения и соответствие между ними.

Например:

Словесно можно задать функцию (задачу), принимающуюся в виде натурального аргумента х с соответствующим значением суммы цифр, из которых состоит значение у . Поясняем: если х равно 4 , то у равно 4 , а если х равно 358 , то у равен сумме 3 + 5 + 8 , т. е 16 . Далее аналогично.

5. Рекурсивный способ состоит в задании функции через саму себя, при этом значения функции определяются через другие ее же значения. Такой способ задания функции используется в задании множеств и рядов.

Например:

При разложении числа Эйлера задается функцией:

Ее сокращение приведено ниже:

При прямом расчёте возникает бесконечная рекурсия, но можно доказать, что значение f(n) при возрастании n стремится к единице (поэтому, несмотря на бесконечность ряда , значение числа Эйлера конечно). Для приближённого вычисления значения e достаточно искусственно ограничить глубину рекурсии некоторым наперёд заданным числом и по достижении его использовать вместо f(n) единицу.

Приводятся основные способы задания функций: явный аналитический; интервальный; параметрический; неявный; задание функции с помощью ряда; табличный; графический. Примеры применения этих способов

Существуют следующие способы задания функции y = f(x) :

1. Явный аналитический способ по формуле вида y = f(x) .
2. Интервальный.
3. Параметрический: x = x(t) , y = y(t) .
4. Неявный, как решение уравнения F(x, y) = 0 .
5. В виде ряда, составленного из известных функций.
6. Табличный.
7. Графический.

Явный способ задания функции

При явном способе , значение функции определяется по формуле, представляющем собой уравнение y = f(x) . В левой части этого уравнения стоит зависимая переменная y , а в правой - выражение, составленное из независимой переменной x , постоянных, известных функций и операций сложения, вычитания, умножения и деления. Известными функциями являются элементарные функции и специальные функции, значения которых можно вычислить, используя средства вычислительной техники.

Вот несколько примеров явного задания функции с независимой переменной x и зависимой переменной y :
;
;
.

Интервальный способ задания функции

При интервальном способе задания функции , область определения разбивается на несколько интервалов, и функция задается отдельно для каждого интервала.

Вот несколько примеров интервального способа задания функции:

Параметрический способ задания функции

При параметрическом способе , вводится новая переменная, которую называют параметром. Далее задают значения x и y как функции от параметра, используя явный способ задания:
(1)

Вот примеры параметрического способа задания функции, используя параметр t :

Преимущество параметрического способа заключается в том, что одну и ту же функцию можно задать бесконечным числом способов. Например, функцию можно задать так:

А можно и так:

Такая свобода выбора, в некоторых случаях, позволяет применять этот способ для решения уравнений (см. «Дифференциальные уравнения, не содержащие одну из переменных »). Суть применения заключается в том, что мы подставляем в уравнение вместо переменных x и y две функции и . Затем задаем одну из них по собственному усмотрению, чтобы из получившегося уравнения можно было определить другую.

Также этот способ применяется для упрощения расчетов. Например, зависимость координат точек эллипса с полуосями a и b можно представить так:
.
В параметрическом виде этой зависимости можно придать более простую форму:
.

Уравнения (1) - это не единственный способ параметрического задания функции. Можно вводить не один, а несколько параметров, связав их дополнительными уравнениями. Например можно ввести два параметра и . Тогда задание функции будет выглядеть так:

Здесь появляется дополнительное уравнение , связывающее параметры. Если число параметров равно n , то должно быть n - 1 дополнительных уравнений.

Пример применения нескольких параметров изложен на странице «Дифференциальное уравнение Якоби ». Там решение ищется в следующем виде:
(2) .
В результате получается система уравнений. Чтобы ее решить, вводят четвертый параметр t . После решения системы получается три уравнения, связывающие четыре параметра и .

Неявный способ задания функции

При неявном способе , значения функции определяется из решения уравнения .

Например, уравнение эллипса имеет вид:
(3) .
Это простое уравнение. Если мы рассматриваем только верхнюю часть эллипса, , то можно выразить переменную y как функцию от x явным способом:
(4) .
Но даже если можно свести (3) к явному способу задания функции (4), последней формулой не всегда удобно пользоваться. Например, чтобы найти производную , удобно дифференцировать уравнение (3), а не (4):
;
.

Задание функции рядом

Исключительно важным способом задания функции является ее представление в виде ряда , составленного из известных функций. Этот способ позволяет исследовать функцию математическими методами и вычислять ее значения для прикладных задач.

Самым распространенным представлением является задание функции с помощью степенного ряда. При этом используется ряд степенных функций:
.
Также применяется ряд и с отрицательными степенями:
.
Например, функция синус имеет следующее разложение:
(5) .
Подобные разложения широко применяются в вычислительной технике для вычисления значений функций, поскольку они позволяют свести вычисления к арифметическим операциям.

В качестве иллюстрации, вычислим значение синуса от 30°, используя разложение (5).
Переводим градусы в радианы:
.
Подставляем в (5):



.

В математике, на ряду со степенными рядами, широко применяются разложения в тригонометрические ряды по функциям и , а также по другим специальным функциям. С помощью рядов можно производить приближенные вычисления интегралов, уравнений (дифференциальных, интегральных, в частных производных) и исследовать их решения.

Табличный способ задания функции

При табличном способе задания функции мы имеем таблицу, которая содержит значения независимой переменной x и соответствующие им значения зависимой переменной y . Независимая и зависимая переменные могут иметь разные обозначения, но мы здесь используем x и y . Чтобы определить значение функции при заданном значении x , мы по таблице, находим значение x , наиболее близкое к нашему значению. После этого определяем соответствующее значение зависимой переменной y .

Для более точного определения значения функции, мы считаем, что функция между двумя соседними значениями x линейна, то есть имеет следующий вид:
.
Здесь - значения функции, найденные из таблицы, при соответствующих им значениях аргументов .
Рассмотрим пример. Пусть нам нужно найти значение функции при . Из таблицы находим:
.
Тогда

.
Точное значение:
.
Из этого примера видно, что применение линейной аппроксимации привело к повышению точности в определении значения функции.

Табличный способ применяется в прикладных науках. До развития вычислительной техники, он широко применялся в инженерных и других расчетах. Сейчас табличный способ применяется в статистике и экспериментальных науках для сбора и анализа экспериментальных данных.

Графический способ задания функции

При графическом способе , значение функции определяется из графика, по оси абсцисс которого откладываются значения независимой переменной, а по оси ординат - зависимой.

Графический способ дает наглядное представление о поведении функции. Результаты исследования функции часто иллюстрируют ее графиком. Из графика можно определить приближенное значение функции. Это позволяет использовать графический способ в прикладных и инженерных науках.