§ 1 Понятие упрощения буквенного выражения
В этом занятии познакомимся с понятием «подобные слагаемые» и на примерах научимся выполнять приведение подобных слагаемых, упрощая, таким образом, буквенные выражения.
Выясним смысл понятия «упрощение». Слово «упрощение» образовано от слова «упрости́ть». Упрости́ть - значит сделать простым, проще. Следовательно, упростить буквенное выражение - это сделать его более коротким, с минимальным количеством действий.
Рассмотрим выражение 9х + 4х. Это буквенное выражение, которое является суммой. Слагаемые здесь представлены в виде произведений числа и буквы. Числовой множитель таких слагаемых называется коэффициентом. В этом выражении коэффициентами будут числа 9 и 4. Обратите внимание, множитель, представленный буквой - одинаковый в обоих слагаемых данной суммы.
Вспомним распределительный закон умножения:
Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
В общем виде записывается так: (а + b) ∙ с = ac + bc.
Этот закон выполняется в обе стороны ac + bc = (а + b) ∙ с
Применим его к нашему буквенному выражению: сумма произведений 9х и 4х равна произведению, первый множитель которого равен сумме 9 и 4, второй множитель - х.
9 + 4 = 13, получается 13х.
9х + 4 х = (9 + 4)х = 13х.
Вместо трех действий в выражении осталось одно действие - умножение. Значит, мы сделали наше буквенное выражение проще, т.е. упрости́ли его.
§ 2 Приведение подобных слагаемых
Слагаемые 9х и 4х отличаются только своими коэффициентами - такие слагаемые называют подобными. Буквенная часть у подобных слагаемых одинаковая. К подобным слагаемым относятся также числа и равные слагаемые.
Например, в выражении 9а + 12 - 15 подобными слагаемыми будут числа 12 и -15, а в сумме произведения 12 и 6а, числа 14 и произведения 12 и 6а (12 ∙6а + 14 + 12 ∙ 6а) подобными будут равные слагаемые, представленные произведением 12 и 6а.
Важно отметить, что слагаемые, у которых равны коэффициенты, а буквенные множители различны, подобными не являются, хотя к ним полезно иногда применить распределительный закон умножения, например, сумма произведений 5х и 5у равна произведению числа 5 и суммы х и у
5х + 5y = 5(x + y).
Упрости́м выражение -9а + 15а - 4 + 10.
Подобными слагаемыми в данном случае являются слагаемые -9а и 15а, так как они отличаются только своими коэффициентами. Буквенный множитель у них одинаковый, также подобными являются слагаемые -4 и 10, так как являются числами. Складываем подобные слагаемые:
9а + 15а - 4 + 10
9а + 15а = 6а;
Получаем: 6а + 6.
Упрощая выражение, мы находили суммы подобных слагаемых, в математике это называют приведением подобных слагаемых.
Если приведение подобных слагаемых вызывает затруднение, можно придумать к ним слова и складывать предметы.
Например, рассмотрим выражение:
На каждую букву берем свой предмет: b-яблоко, с-груша, тогда получится: 2 яблока минус 5 груш плюс 8 груш.
Можем из яблок вычесть груши? Конечно, нет. А вот к минус 5 грушам прибавить 8 груш можем.
Приведем подобные слагаемые -5 груш + 8 груш. У подобных слагаемых буквенная часть одинаковая, поэтому при приведении подобных слагаемых достаточно выполнить сложение коэффициентов и к результату дописать буквенную часть:
(-5 + 8) груш - получится 3 груши.
Возвращаясь к нашему буквенному выражению, имеем -5 с + 8с = 3с. Таким образом, после приведения подобных слагаемых получим выражение 2b + 3с.
Итак, на этом занятии Вы познакомились с понятием «подобные слагаемые» и научились упрощать буквенные выражения путем приведения подобных слагаемых.
Список использованной литературы:
Использованные изображения:
Упрощение алгебраических выражений является одним из ключевых моментов изучения алгебры и чрезвычайно полезным навыком для всех математиков. Упрощение позволяет привести сложное или длинное выражение к простому выражению, с которым легко работать. Базовые навыки упрощения хорошо даются даже тем, кто не в восторге от математики. Соблюдая несколько простых правил, можно упростить многие из наиболее распространенных типов алгебраических выражений без каких-либо специальных математических знаний.
Подобные члены . Это члены с переменной одного порядка, члены с одинаковыми переменными или свободные члены (члены, не содержащие переменную). Другими словами, подобные члены включают одну переменную в одной и той же степени, включают несколько одинаковых переменных или не включают переменную вовсе. Порядок членов в выражении не имеет значения.
Разложение на множители . Это нахождение таких чисел, произведение которых приводит к исходному числу. Любое исходное число может иметь несколько множителей. Например, число 12 может быть разложено на следующий ряд множителей: 1 × 12, 2 × 6 и 3 × 4, поэтому можно сказать, что числа 1, 2, 3, 4, 6 и 12 являются множителями числа 12. Множители совпадают с делителями, то есть числами, на которые делится исходное число.
Запомните и соблюдайте порядок выполнения операций во избежание ошибок.
Запишите выражение. Простейшие алгебраические выражения (которые не содержат дробей, корней и так далее) можно решить (упростить) всего за несколько шагов.
Определите подобные члены (члены с переменной одного порядка, члены с одинаковыми переменными или свободные члены).
Приведите подобные члены. Это значит сложить или вычесть их и упростить выражение.
Перепишите выражение с учетом приведенных членов. Вы получите простое выражение с меньшим количеством членов. Новое выражение равно исходному.
Соблюдайте порядок выполнения операций при приведении подобных членов. В нашем примере было легко привести подобные члены. Однако в случае сложных выражений, в которых члены заключены в скобки и присутствуют дроби и корни, привести подобные члены не так просто. В этих случаях соблюдайте порядок выполнения операций.
Найдите наибольший общий делитель (НОД) всех коэффициентов выражения. НОД - это наибольшее число, на которое делятся все коэффициенты выражения.
Разделите каждый член выражения на НОД. Полученные члены будут содержать меньшие коэффициенты, чем в исходном выражении.
Запишите исходное выражение как равное произведению НОД на полученное выражение. То есть заключите полученное выражение в скобки, а за скобки вынесите НОД.
Упрощение дробных выражений с помощью вынесения множителя за скобки. Зачем просто выносить множитель за скобки, как это было сделано ранее? Затем, чтобы научиться упрощать сложные выражения, например дробные выражения. В этом случае вынесение множителя за скобки может помочь избавиться от дроби (от знаменателя).
Упрощение выражений со степенями. В некоторых выражениях присутствуют операции умножения или деления членов со степенью. В случае умножения членов с одним основанием их степени складываются; в случае деления членов с одним основанием их степени вычитаются.
Раздел 5 ВЫРАЖЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ
В разделе узнаете:
ü о выражения и их упрощения;
ü какие свойства равенств;
ü как решать уравнения на основе свойств равенств;
ü какие виды задач решаются с помощью уравнений; что такое перпендикулярные прямые и как их строить;
ü какие прямые называются параллельными и как их строить;
ü что такое координатная плоскость;
ü как определить координаты точки на плоскости;
ü что такое график зависимости между величинами и как его построить;
ü как применить изученный материал на практике
§ 30. ВЫРАЖЕНИЯ И ИХ УПРОЩЕНИЕ
Вы уже знаете, что такое буквенные выражения и умеете их упрощать с помощью законов сложения и умножения. Например, 2а ∙ (-4 b ) = -8 ab . В полученном выражении число -8 называют коэффициентом выражения.
Имеет ли выражение cd коэффициент? Так. Он равен 1, поскольку cd - 1 ∙ cd .
Вспомним, что преобразование выражения со скобками в выражение без скобок, называют раскрытием, скобок. Например: 5(2х + 4) = 10х+ 20.
Обратная действие в этом примере - это вынесение общего множителя за скобки.
Слагаемые, содержащие одинаковые буквенные множители, называют подобными слагаемыми. С помощью вынесения общего множителя за скобки возводят подобные слагаемые:
5х + y + 4 - 2х + 6 y - 9 =
= (5х - 2х) + (y + 6 y )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y -5 =
B х+ 7у - 5.
Правила раскрытия скобок
1. Если перед скобками стоит знак«+», то при раскрытии скобок знаки слагаемых в скобках сохраняют;
2. Если перед скобками стоит знак «-», то при раскрытии скобок знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные.
Задача 1 . Упростите выражение:
1) 4х+(-7х + 5);
2) 15 y -(-8 + 7 y ).
Решения. 1. Перед скобками стоит знак «+», поэтому при раскрытии скобок знаки всех слагаемых сохраняются:
4х +(-7х + 5) = 4х - 7х + 5=-3х + 5.
2. Перед скобками стоит знак«-», поэтому во время раскрытия скобок: знаки всех слагаемых меняются на противоположные:
15 - (- 8 + 7у) = 15у + 8 - 7у = 8у +8.
Для раскрытия скобок используют распределительную свойство умножения: а(b + c ) = ab + ас. Если а > 0, то знаки слагаемых b и с не изменяют. Если а < 0, то знаки слагаемых b и с меняют на противоположные.
Задача 2. Упростите выражение:
1) 2(6 y -8) + 7 y ;
2)-5(2-5х) + 12.
Решения. 1. Множитель 2 перед скобками е положительным, поэтому при раскрытии скобок знаки всех слагаемых сохраняем: 2(6 y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y =19 y -16.
2. Множитель -5 перед скобками е отрицательным, поэтому при раскрытии скобок знаки всех слагаемых меняем на противоположные:
5(2 - 5х) + 12 = -10 + 25х +12 = 2 + 25х.
Узнайте больше
1. Слово «сумма» происходит от латинского summa , что означает «итог», «общее количество».
2. Слово «плюс» происходит от латинского plus , что означает «больше», а слово «минус» - от латинского minus , что значит «меньше». Знаки «+» и«-» используют для обозначения действий сложения и вычитания. Эти знаки ввел чешский ученый Й. Видман в 1489 г. в книге «Быстрый и приятный счет для всех торговцев» (рис. 138).
Рис. 138
ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ
1. Какие слагаемые называют подобными? Как возводят подобные слагаемые?
2. Как раскрывают скобки, перед которыми стоит знак «+»?
3. Как раскрывают скобки, перед которыми стоит знак «-»?
4. Как раскрывают скобки, перед которыми стоит положительный множитель?
5. Как раскрывают скобки, перед которыми стоит отрицательный множитель?
1374". Назовите коэффициент выражения:
1)12 а; 3)-5,6 ху;
2)4 6; 4)-с.
1375". Назовите слагаемые, которые отличаются только коэффициентом:
1) 10а + 76-26 + а; 3) 5 n + 5 m -4 n + 4;
2) bc -4 d - bc + 4 d ; 4)5х + 4у-х + у.
Как называются такие слагаемые?
1376". Есть ли подобными слагаемые в выражении:
1)11а+10а; 3)6 n + 15 n ; 5) 25р - 10р + 15р;
2) 14с-12; 4)12 m + m ; 6)8 k +10 k - n ?
1377". Надо ли менять знаки слагаемых в скобках, раскрывая скобки в выражении:
1)4 + (а+ 3 b ); 2)-c +(5-d ); 3) 16-(5 m -8 n )?
1378°. Упростите выражение и подчеркните коэффициент:
1379°. Упростите выражение и подчеркните коэффициент:
1380°. Сведите подобные слагаемые:
1) 4а - По + 6а - 2а; 4) 10 - 4 d - 12 + 4 d ;
2) 4 b - 5 b + 4 + 5 b ; 5) 5а - 12 b - 7а + 5 b ;
3)-7 ang="EN-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m -4 n -3 m .
1381°. Сведите подобные слагаемые:
1) 6а - 5а + 8а -7а; 3) 5с + 4-2с-3с;
2)9 b +12-8-46; 4)-7 n + 8 m - 13 n - 3 m .
1382°. Вынесите общий множитель за скобки:
1)1,2 а +1,2 b ; 3) -3 n - 1,8 m ; 5)-5 p + 2,5 k -0,5 t ;
2) 0,5 с + 5 d ; 4) 1,2 n - 1,8 m ; 6)-8р - 10 k - 6 t .
1383°. Вынесите общий множитель за скобки:
1) 6а-12 b ; 3)-1,8 n -3,6 m ;
2) -0,2 с + 1 4 d ; А) 3р - 0,9 k + 2,7 t .
1384°. Раскройте скобки и сведите подобные слагаемые;
1) 5 + (4а -4); 4) -(5 c - d ) + (4 d + 5с);
2) 17х-(4х-5); 5) (n - m )- (-2 m - 3 n );
3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7(-5х + у) - (-2у + 4х) + (х - 3у).
1385°. Раскройте скобки и сведите подобные слагаемые:
1) 10а + (4 - 4а); 3) (с - 5 d ) - (- d + 5с);
2) -(46- 10) + (4- 56); 4)-(5 n + m ) + (-4 n + 8 m )-(2 m -5 n ).
1386°. Раскройте скобки и найдите значение выражения:
1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);
2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).
1387°. Раскройте скобки и найдите значение выражения:
1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);
2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).
1388°. Раскройте скобки:
1)0,5 ∙ (а + 4); 4) (n - m ) ∙ (-2,4 p );
2)-с ∙ (2,7-1,2 d ); 5)3 ∙ (-1,5 р + к - 0,2 t );
3) 1,6 ∙ (2 n + m ); 6) (4,2 p - 3,5 k -6 t ) ∙ (-2а).
1389°. Раскройте скобки:
1) 2,2 ∙ (х-4); 3)(4 c - d )∙(-0,5 y );
2) -2 ∙ (1,2 n - m ); 4)6- (-р + 0,3 k - 1,2 t ).
1390. Упростите выражение:
1391. Упростите выражение:
1392. Сведите подобные слагаемые:
1393. Сведите подобные слагаемые:
1394. Упростите выражение:
1)2,8 - (0,5 а + 4) - 2,5 ∙ (2а - 6);
2) -12 ∙ (8 - 2, by ) + 4,5 ∙ (-6 y - 3,2);
4) (-12,8 m + 24,8 n ) ∙ (-0,5)-(3,5 m -4,05 m ) ∙ 2.
1395. Упростите выражение:
1396. Найдите значение выражения;
1) 4-(0,2 а-3)-(5,8 а-16), если а = -5;
2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), если = -0,8;
m = 0,25, n = 5,7.
1397. Найдите значение выражения:
1) -4∙ (я-2) + 2∙(6x - 1), если х =-0,25;
1398*. Найдите ошибку в решении:
1)5- (а-2,4)-7 ∙ (-а+ 1,2) = 5а - 12-7а + 8,4 = -2а-3,6;
2) -4 ∙ (2,3 а - 6) + 4,2 ∙ (-6 - 3,5 а) = -9,2 а + 46 + 4,26 - 14,7 а = -5,5 а + 8,26.
1399*. Раскройте скобки и упростите выражение:
1) 2аb - 3(6(4а - 1) - 6(6 - 10а)) + 76;
1400*. Расставьте скобки так, чтобы получить правильное равенство:
1)а-6-а + 6 = 2а; 2) a -2 b -2 a + b = 3 a -3 b .
1401*. Докажите, что для любых чисел а и b , если а > b , то выполняется равенство:
1) (а + b ) + (а- b ) = 2а; 2) (а + b ) - (a - b ) = 2 b .
Будет ли правильным данное равенство, если: а) а < b ; б) а = 6?
1402*. Докажите, что для любого натурального числа а среднее арифметическое предыдущего и следующего за ним чисел равна числу а.
ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ
1403. Для приготовления фруктового десерта для трех человек нужно: 2 яблока, 1 апельсин, 2 банана и 1 киви. Как составить буквенный выражение для определения количества фруктов, необходимых для приготовления десерта я для гостей? Помогите Марин эти подсчитать, сколько фруктов нужно купить, если к ней в гости придут: 1) 5 друзей; 2) 8 друзей.
1404. Составьте буквенный выражение для определения времени, необходимого для выполнения домашнего задания по математике, если:
1) на решения задач потрачено а мин; 2) упрощение выражений в 2 раза больше, чем на решение задач. Сколько времени выполнял домашнее задание Василько, если на решение задач он потратил 15 мин?
1405. Обед в школьной ‘столовой состоит из салата, борща, голубцов и компота. Стоимость салата составляет 20 %, борща - 30 %, голубцов - 45 %, компота - 5 % общей стоимости всего обеда. Составьте выражение для нахождения стоимости обеда в школьной столовой. Сколько стоит обед, если цена салата - 2 грн?
ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ
1406. Решите уравнение:
1407. На мороженое Таня потратила всех имеющихся денег, а на конфеты - остальных. Сколько денег осталось у Тани,
если конфеты стоят 12 грн?
С помощью любого языка можно выразить одну и ту же информацию разными словами и оборотами. Не является исключением и математический язык. Но одно и то же выражение можно эквивалентным образом записать по-разному. И в некоторых ситуациях одна из записей является более простой. Об упрощении выражений мы и поговорим на этом уроке.
Люди общаются на разных языках. Для нас важным сравнением является пара «русский язык - математический язык». Одну и ту же информацию можно сообщить на разных языках. Но, кроме этого, её можно и на одном языке произнести по-разному.
Например: «Петя дружит с Васей», «Вася дружит с Петей», «Петя с Васей друзья». Сказано по-разному, но одно и то же. По любой из этих фраз мы бы поняли, о чём идёт речь.
Давайте посмотрим на такую фразу: «Мальчик Петя и мальчик Вася дружат». Мы поняли, о чем идет речь. Тем не менее, нам не нравится, как звучит эта фраза. Не можем ли мы её упростить, сказать то же, но проще? «Мальчик и мальчик» - можно же один раз сказать: «Мальчики Петя и Вася дружат».
«Мальчики»… Разве по именам не понятно, что они не девочки. Убираем «мальчики»: «Петя и Вася дружат». А слово «дружат» можно заменить на «друзья»: «Петя и Вася - друзья». В итоге первую, длинную некрасивую фразу заменили эквивалентным высказыванием, которое проще сказать и проще понять. Мы эту фразу упростили. Упростить- значит сказать проще, но не потерять, не исказить смысл.
В математическом языке происходит примерно то же самое. Одно и то же можно сказать, записать по-разному. Что значит упростить выражение? Это значит, что для исходного выражения существует множество эквивалентных выражений, то есть тех, что означают одно и то же. И из всего этого множества мы должны выбрать самое простое, на наш взгляд, или самое подходящее для наших дальнейших целей.
Например, рассмотрим числовое выражение . Ему эквивалентное будет .
Также будет эквивалентно первым двум: 
.
Получается, что мы упростили наши выражения и нашли самое краткое эквивалентное выражение.
Для числовых выражений всегда нужно выполнять все действия и получать эквивалентное выражение в виде одного числа.
Рассмотрим пример буквенного выражения . Очевидно, что более простое будет .
При упрощении буквенных выражений необходимо выполнить все действия, которые возможны.
Всегда ли нужно упрощать выражение? Нет, иногда нам удобнее будет эквивалентная, но более длинная запись.
Пример : от числа нужно отнять число .
Вычислить можно, но если бы первое число было представлено своей эквивалентной записью: , то вычисления были бы мгновенными: .
То есть упрощенное выражение не всегда нам выгодно для дальнейших вычислений.
Тем не менее очень часто мы сталкиваемся с заданием, которое так и звучит «упростить выражение».
Упростить выражение: .
Решение
1) Выполним действия в первых и во вторых скобках: .
2) Вычислим произведения: .
Очевидно, последнее выражение имеет более простой вид, чем начальное. Мы его упростили.
Для того чтобы упростить выражение, его необходимо заменить на эквивалентное (равное).
Для определения эквивалентного выражения необходимо:
1) выполнить все возможные действия,
2) пользоваться свойствами сложение, вычитания, умножения и деления для упрощения вычислений.
Свойства сложения и вычитания:
1. Переместительное свойство сложения: от перестановки слагаемых сумма не меняется.
2. Сочетательное свойство сложения: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.
3. Свойство вычитания суммы из числа: чтобы вычесть сумму из числа, можно вычитать каждое слагаемое по отдельности.
Свойства умножения и деления
1. Переместительное свойство умножения: от перестановки множителей произведение не меняется.
2. Сочетательное свойство: чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.
3. Распределительное свойство умножения: чтобы число умножить на сумму, нужно его умножить на каждое слагаемое по отдельности.
Посмотрим, как мы на самом деле делаем вычисления в уме.
Вычислите:
Решение
1) Представим как
2) Представим первый множитель как сумму разрядных слагаемых и выполним умножение:
3) можно представить как и выполнить умножение:
4) Заменим первый множитель эквивалентной суммой:
Распределительный закон можно использовать и в обратную сторону: .
Выполните действия:
1) 
2) 
Решение
1) Для удобства можно воспользоваться распределительным законом, только использовать его в обратную сторону - вынести общий множитель за скобки.
2) Вынесем за скобки общий множитель
Необходимо купить линолеум в кухню и прихожую. Площадь кухни - , прихожей - . Есть три вида линолеумов: по , и рублей за . Сколько будет стоить каждый из трёх видов линолеума? (Рис. 1)
Рис. 1. Иллюстрация к условию задачи
Решение
Способ 1. Можно по отдельности найти, сколько денег потребуется на покупку линолеума в кухню, а потом в прихожую и полученные произведения сложить.
Некоторые алгебраические примеры одним видом способны наводить ужас на школьников. Длинные выражения не только пугают, но и очень затрудняют вычисления. Пытаясь сходу понять, что и за чем следует, недолго запутаться. Именно по этой причине математики всегда стараются максимально упростить «жуткое» задание и только потом приступают к его решению. Как ни странно, такой трюк значительно ускоряет процесс работы.
Упрощение является одним из фундаментальных моментов в алгебре. Если в простых задачах без него ещё можно обойтись, то более трудные для вычисления примеры могут оказаться «не по зубам». Тут-то и пригодятся эти навыки! Тем более что сложных математических знаний не требуется: достаточно будет всего лишь запомнить и научиться применять на практике несколько базовых приёмов и формул.
Вне зависимости от сложности вычислений при решении любого выражения важно соблюдать порядок выполнения операций с числами :
Последние два пункта можно спокойно поменять местами и это никак не отразится на результате. Но складывать два соседних числа, когда рядом с одним из них стоит знак умножения категорически нельзя! Ответ если и получится, то неверный. Поэтому нужно запомнить последовательность.
К таким элементам относятся числа с переменной одного порядка или одинаковой степени. Существуют и так называемые свободные члены, не имеющие рядом с собой буквенного обозначения неизвестного.
Суть заключается в том, что при отсутствии скобок можно упростить выражение, складывая или вычитая между собой подобные .
Несколько наглядных примеров :
- 8x 2 и 3x 2 - оба числа имеют одну и ту же переменную второго порядка, поэтому они подобны и при сложении упрощаются до (8+3)x 2 =11x 2 , тогда как при вычитании получается (8-3)x 2 =5x 2 ;
- 4x 3 и 6x - а тут «х» имеет разную степень;
- 2y 7 и 33x 7 - содержат различные переменные, поэтому, как и в предыдущем случае, не относятся к подобным.
Эта маленькая математическая хитрость, если научиться её правильно использовать, в будущем не раз поможет справиться с каверзной задачкой. Да и понять, как работает «система», несложно: разложением называют произведение нескольких элементов, вычисление которого даёт исходное значение . Таким образом, 20 можно представить как на 20×1, 2×10, 5×4, 2×5×2 или другим способом.
На заметку : множители всегда совпадают с делителями. Так что искать рабочую «пару» для разложения нужно среди чисел, на которые исходное делится без остатка.
Проделывать такую операцию можно как со свободными членами, так и с цифрами при переменной. Главное, не потерять последнюю во время вычислений - даже после разложения неизвестная не может взять и «уйти в никуда». Она остаётся при одном из множителей :
Простые числа, которые можно разделить лишь на себя или 1, никогда не раскладываются - в этом нет смысла .
Первое, за что цепляется взгляд:
Алгебраические примеры в школьной программе часто составляются с учётом того, что их можно красиво упростить.
Внимательно следите за знаком, стоящим перед скобками! Умножение или деление применяется к каждому элементу внутри, а минус - меняет имеющиеся знаки «+» или «-» на противоположные.
Скобки вычисляются по правилам либо по формулам сокращённого умножения, после чего приводятся подобные.
Сокращать дроби тоже несложно. Они сами через раз «охотно убегают», стоит произвести операции с приведением подобных членов. Но упростить пример можно ещё до этого: обращайте внимание на числитель и знаменатель . Они нередко содержат явные или скрытые элементы, которые можно взаимно сократить. Правда, если в первом случае нужно всего лишь вычеркнуть лишнее, во втором придётся подумать, приводя часть выражения к виду для упрощения. Используемые методы:
Когда выражение или его часть находится под корнем , первостепенная задача упрощения практически аналогична случаю с дробями. Необходимо искать способы полностью от него избавиться или, если это невозможно, максимально сократить мешающий вычислениям знак . Например, до ненавязчивого √(3) или √(7).
Верный способ упростить подкоренное выражение - попытаться разложить его на множители , часть из которых выносится за пределы знака. Наглядный пример: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).
Другие маленькие хитрости и нюансы:
Если в случае простых вычислений на минус или плюс примеры упрощаются за счёт приведения подобных, то как быть при умножении или делении переменных с разными степенями? Их можно легко упростить, запомнив два основных момента:
Единственное условие для такого упрощения - одинаковое основание у обоих членов. Примеры для наглядности:
Отмечаем, что операции с числовыми значениями, стоящими перед переменными, происходят по обычным математическим правилам . И если присмотреться, то становится понятно, что степенные элементы выражения «работают» аналогично:
Как и в любом деле, при упрощении алгебраических выражений необходимо не только знание основ, но и практика. Уже через несколько занятий примеры, когда-то кажущиеся сложными, будут сокращаться без особого труда, превращаясь в короткие и легко решаемые.
Это видео поможет вам разобраться и запомнить, как упрощаются выражения.
Не получили ответ на свой вопрос? Предложите авторам тему.
