Формулы сокращенного умножения (ФСУ) применяются для возведения в степень и умножения чисел и выражений. Часто эти формулы позволяют произвести вычисления более компактно и быстро.
В данной статье мы перечислим основные формулы сокращенного умножения, сгруппируем их в таблицу, рассмотрим примеры использования этих формул, а также остановимся на принципах доказательств формул сокращенного умножения.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Впервые тема ФСУ рассматривается в рамках курса "Алгебра" за 7 класс. Приведем ниже 7 основных формул.
Формулы сокращенного умножения
Буквами a, b, c в данных выражениях могут быть любые числа, переменные или выражения. Для удобства использования лучше выучить семь основных формул наизусть. Сведем их в таблицу и приведем ниже, обведя рамкой.
Первые четыре формулы позволяют вычислять соответственно квадрат или куб суммы или разности двух выражений.
Пятая формула вычисляет разность квадратов выражений путем произведения их суммы и разности.
Шестая и седьмая формулы - соответственно умножение суммы и разности выражений на неполный квадрат разности и неполный квадрат суммы.
Формула сокращенного умножения иногда еще называют тождествами сокращенного умножения. В этом нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.
При решении практических примеров часто используют формулы сокращенного умножения с переставленными местами левыми и правыми частями. Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители.
Не будем ограничиваться курсом 7 класса по алгебре и добавим в нашу таблицу ФСУ еще несколько формул.
Во-первых, рассмотрим формулу бинома Ньютона.
a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n - 1 · b + C n 2 · a n - 2 · b 2 + . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n
Здесь C n k - биномиальные коэффициенты, которые стоят в строке под номером n в треугольнике паскаля. Биномиальные коэффициенты вычисляются по формуле:
C n k = n ! k ! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !
Как видим, ФСУ для квадрата и куба разности и суммы - это частный случай формулы бинома Ньютона при n=2 и n=3соответственно.
Но что, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два? Полезной будет формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых.
a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n
Еще одна формула, которая может пригодится - формула формула разности n-ых степеней двух слагаемых.
a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1
Эту формулу обычно разделяют на две формулы - соответственно для четных и нечетных степеней.
Для четных показателей 2m:
a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2
Для нечетных показателей 2m+1:
a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m
Формулы разности квадратов и разности кубов, как вы догадались, являются частными случаями этой формулы при n = 2 и n = 3 соответственно. Для разности кубов b также заменяется на - b .
Дадим соответствующие формулировки для каждой формулы, но сначала разберемся с принципом чтения формул. Удобнее всего делать это на примере. Возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух чисел.
a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .
Говорят: квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения выражений и квадрата второго выражения.
Все остальные формулы читаются аналогично. Для квадрата разности a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 запишем:
квадрат разности двух выражений a и b равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражения.
Прочитаем формулу a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 . Куб суммы двух выражений a и b равен сумме кубов этих выражений, утроенного произведения квадрата первого выражения на второе и утроенного произведения квадрата второго выражения на первое выражение.
Переходим к чтению формулы для разности кубов a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3 . Куб разности двух выражений a и b равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения на первое выражение, минус куб второго выражения.
Пятая формула a 2 - b 2 = a - b a + b (разность квадратов) читается так: разность квадратов двух выражений равна произведению разности и суммы двух выражений.
Выражения типа a 2 + a b + b 2 и a 2 - a b + b 2 для удобства называют соответственно неполным квадратом суммы и неполным квадратом разности.
С учетом этого, формулы суммы и разности кубов прочитаются так:
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.
Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.
Доказать ФСУ довольно просто. Основываясь на свойствах умножения, проведем умножение частей формул в скобках.
Для примера рассмотрим формулу квадрата разности.
a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .
Чтобы возвести выражение во вторую степень нужно это выражение умножить само на себя.
a - b 2 = a - b a - b .
Раскроем скобки:
a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .
Формула доказана. Остальные ФСУ доказываются аналогично.
Цель использования формул сокращенного умножения - быстрое и краткое умножение и возведение выражений в степень. Однако, это не вся сфера применения ФСУ. Они широко используются при сокращении выражений, сокращении дробей, разложении многочленов на множители. Приведем примеры.
Пример 1. ФСУ
Упростим выражение 9 y - (1 + 3 y) 2 .
Применим формулу суммы квадратов и получим:
9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2
Пример 2. ФСУ
Сократим дробь 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 .
Замечаем, что выражение в числителе - разность кубов, а в знаменателе - разность квадратов.
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z .
Сокращаем и получаем:
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z
Также ФСУ помогают вычислять значения выражений. Главное - уметь заметить, где применить формулу. Покажем это на примере.
Возведем в квадрат число 79 . Вместо громоздких вычислений, запишем:
79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .
Казалось бы, сложное вычисление проведено быстро всего лишь с использованием формул сокращенного умножения и таблицы умножения.
Еще один важный момент - выделение квадрата двучлена. Выражение 4 x 2 + 4 x - 3 можно преобразовать в вид 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Такие преобразования широко используются в интегрировании.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
Как мы используем вашу персональную информацию:
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Одной из первых тем, изучаемых в курсе алгебры, являются формулы сокращённого умножения. В 7 классе они применяются в самых простых ситуациях, где требуется распознать в выражении одну из формул и выполнить разложение многочлена на множители или, наоборот, быстро возвести сумму или разность в квадрат или куб. В дальнейшем ФСУ используют для быстрого решения неравенств и уравнений и даже для вычисления некоторых числовых выражений без калькулятора.
Существует 7 основных формул, позволяющих быстро осуществить перемножение многочленов в скобках.
Иногда в этот список также включается разложение для четвёртой степени, которое следует из представленных тождеств и имеет вид:
a⁴ — b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²).
Все равенства имеют пару (сумма - разность), кроме разности квадратов. Для суммы квадратов формула не приводится .
Остальные равенства легко запоминаются :
Следует помнить, что ФСУ работают в любом случае и для любых величин a и b : это могут быть как произвольные числа, так и целые выражения.
В ситуации, если вдруг не получается вспомнить, какой знак стоит в формуле перед тем или иным слагаемым, можно раскрыть скобки и получить тот же результат, что и после использования формулы. Например, если проблема возникла при применении ФСУ куба разности, нужно записать исходное выражение и поочерёдно выполнить умножение :
(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² — ab - ab + b²)(a - b) = a³ — a²b - a²b + ab² — a²b + ab² + ab² — b³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³.
В результате после приведения всех подобных членов был получен такой же многочлен, как и в таблице. Такие же манипуляции можно проводить и со всеми остальными ФСУ.
К примеру, нужно решить уравнение, содержащее многочлен 3 степени :
x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.
В школьной программе не рассматриваются универсальные приёмы для решения кубических уравнений, и подобные задания чаще всего решаются более простыми методами (например, разложением на множители). Если заметить, что левая часть тождества напоминает куб суммы, то уравнение можно записать в более простом виде:
(x + 1)³ = 0.
Корень такого уравнения вычисляется устно: x = -1 .
Аналогичным способом решаются неравенства. Для примера можно решить неравенство x³ — 6x² + 9x > 0 .
В первую очередь необходимо разложить выражение на множители. Вначале нужно вынести за скобку x . После этого следует обратить внимание, что выражение в скобках можно преобразовать в квадрат разности.
Затем необходимо найти точки, в которых выражение принимает нулевые значения, и отметить их на числовой прямой. В конкретном случае это будут 0 и 3. Затем методом интервалов определить, в каких промежутках x будет соответствовать условию неравенства.
ФСУ могут оказаться полезными при выполнении некоторых расчётов без помощи калькулятора :
703² — 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000 .
Кроме того, раскладывая выражения на множители, можно легко выполнять сокращение дробей и упрощение различных алгебраических выражений.
В заключение разберём и решим два задания на применение формул сокращённого умножения по алгебре.
Задача 1. Упростить выражение:
(m + 3)² + (3m + 1)(3m - 1) - 2m (5m + 3).
Решение. В условии задания требуется упростить выражение, т. е. раскрыть скобки, выполнить действия умножения и возведения в степень, а также привести все подобные слагаемые. Условно разделим выражение на три части (по числу слагаемых) и поочерёдно раскроем скобки, применяя ФСУ там, где это возможно.
Подставим полученные результаты в исходное выражение:
(m² + 6m + 9) + (9m² — 1) - (10m² + 6m) .
С учётом знаков раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² — 6m = 8.
Задача 2. Решить уравнение, содержащее неизвестное k в 5 степени:
k⁵ + 4k⁴ + 4k³ — 4k² — 4k = k³.
Решение. В этом случае необходимо воспользоваться ФСУ и методом группировки. Нужно перенести последнее и предпоследнее слагаемое в правую часть тождества.
k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.
Из правой и из левой части выносится общий множитель (k² + 4k +4) :
k³(k² + 4k + 4) = k (k² + 4k + 4) .
Всё переносится в левую часть уравнения, чтобы в правой остался 0:
k³(k² + 4k + 4) - k (k² + 4k + 4) = 0 .
Снова необходимо вынести общий множитель:
(k³ — k)(k² + 4k + 4) = 0.
Из первого полученного сомножителя можно вынести k . По формуле краткого умножения второй множитель будет тождественно равен (k + 2)² :
k (k² — 1)(k + 2)² = 0.
Использование формулы разности квадратов:
k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.
Поскольку произведение равно 0, если хотя бы один из его множителей нулевой, найти все корни уравнения не составит труда:
На основании наглядных примеров можно понять, как запомнить формулы, их отличия, а также решить несколько практических задач с применением ФСУ. Задачи простые, и при их выполнении не должно возникнуть никаких сложностей.
Применяют для упрощения вычислений, а также разложение многочленов на множители, быстрого умножения многочленов. Большинство формул сокращенного умножения можно получить из бинома Ньютона - в этом Вы скоро убедитесь.
Формулы для квадратов применяют в вычислениях чаще. Их начинают изучать в школьной программе начиная с 7 класса и до конца обучения формулы для квадратов и кубов школьники должны знать на зубок.
Формулы для кубов не сильно сложные и их нужно знать при сведении многочленов к стандартному виду, для упрощения подъема суммы или разности переменной и числа к кубу.
Формулы обозначены красным получают из предыдущих группировкой подобных слагаемых.
Формулы для четвертого и пятого степени в школьном курсе мало кому пригодятся, однако есть задачи при изучении высшей математики где нужно вычислять коэффициенты при степенях.
Формулы для степени
n
расписаны
через биномиальные коэффициенты с использованием факториалов следующие
Пример 1. Вычислить 51^2.
Решение.
Если есть калькулятор то без проблем находите
Это я пошутил - с калькулятором мудрые все, без него... (не будем о грустном).
Не имея калькулятора и зная приведенные выше правила квадрат числа находим по правилу
Пример 2. Найти 99^2.
Решение.
Применим вторую формулу
Пример 3.
Возвести в квадрат выражение
(x+y-3).
Решение. Сумму первых двух слагаемых мысленно считаем одним слагаемым и по второй формуле сокращенного умножения имеем
Пример 4.
Найти разность квадратов
11^2-9^2.
Решение. Поскольку числа небольшие то можно просто подставить значения квадратов
Но цель у нас совсем другая - научиться использовать формулы сокращенного умножения для упрощения вычислений. Для этого примера применим третью формулу
Пример 5.
Найти разность квадратов
17^2-3^2
.
Решение. На этом примере Вы уже захотите изучить правила чтобы вычисления свести к одной строке
Как видите - ничего удивительного мы не делали.
Пример 6.
Упростить выражение
(x-y)^2-(x+y)^2.
Решение.
Можно раскладывать квадраты, а позже сгруппировать подобные слагаемые. Однако можно прямо применить разность квадратов
Просто и без длинных решений.
Пример 7.
Возвести в куб многочлен
x^3-4.
Решение
. Применим 5 формулу сокращенного умножения
Пример 8.
Записать в виде разности квадратов или их сумме
а) x^2-8x+7
б) x^2+4x+29
Решение. а) Перегруппируем слагаемые
б) Упрощаем на основе предыдущих рассуждений
Пример 9.
Разложить рациональную дробь
Решение.
Применим формулу разности квадратов
Составим систему уравнений для определения констант
К утроенному первому уравнению добавим второе. Найденное значение подставляем в первое уравнение
Окончательно разложение примет вид 
Разложить рациональную дробь часто необходимо перед интегрированием, чтобы снизить степень знаменателя.
Пример 10.
Используя бином Ньютона расписать
выражение (x-a)^7.
Решение. Что такое бином Ньютона Вы вероятно уже знаете. Если нет то ниже приведены биномиальные коэффициенты
Они образуются следующим образом: по краю идут единицы, коэффициенты между ними в нижней строке образуют суммированием соседних верхних. Если ищем разницу в каком-то степени, то знаки в расписании чередуются от плюса к минусу. Таким образом для седьмого порядка получим такой расклад
Внимательно также посмотрите как меняются показатели - для первой переменной они уменьшаются на единицу в каждом следующем слагаемом, соответственно для второй - на единицу растут. В сумме показатели всегда должны быть равны степени разложения (=7 ).
Думаю на основе приведенного выше материала Вы сможете решить задачи на бином Ньютона. Изучайте формулы сокращенного умножения и применяйте везде, где это может упростить вычисления и сэкономит время выполнения задания.
Для того что бы упростить алгебраические многочлены, существуют формулы сокращенного умножения . Их не так уж и много и они легко запоминаются, а запомнить их нужно. Обозначения которые используются в формулах, могут принимать любой вид (число или многочлен).
Первая формула сокращенного умножения называется разность квадратов
. Она заключается в том что из квадрата одного числа отнимается квадрат второго числа равен величине разности данных чисел, а также их произведению.
а 2 - b 2 = (а - b)(a + b)
Разберем для наглядности:
22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9а 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc)(3a + 2bc)
Вторая формула о сумме квадратов . Звучит она как, сумма двух величин в квадрате равняется квадрату первой величины к ней прибавляется двойное произведение первой величины умноженное на вторую, к ним прибавляется квадрат второй величины.
(а + b) 2 = a 2 +2ab + b 2
Благодаря данной формуле, становится намного проще вычислять квадрат от большого числа, без использования вычислительной техники.
Так к примеру:
квадрат от 112 будет равен
1) В начале разберем 112 на числа квадраты которых нам знакомы
112 = 100 + 12
2) Вписываем полученное в скобки возведенные в квадрат
112 2 = (100+12) 2
3) Применяя формулу, получаем:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544
Третья формула это квадрат разности
. Которая гласит о том, что две вычитаемые друг друга величины в квадрате равняются, тому что, от первой величины в квадрате отнимаем двойное произведение первой величины умноженное на вторую, прибавляя к ним квадрат второй величины.
(а +b) 2 = а 2 - 2аb + b 2
где (а - b) 2 равняется (b - а) 2 . В доказательство чему, (а-b) 2 = а 2 -2аb+b 2 = b 2 -2аb + а 2 = (b-а) 2
Четвертая формула сокращенного умножения называется куб суммы . Которая звучит как: две слагаемые величины в кубе равны кубу 1 величины прибавляется тройное произведение 1 величины в квадрате умноженное на 2-ую величину, к ним прибавляется тройное произведение 1 величины умноженной на квадрат 2 величины, плюс вторая величина в кубе.
(а+b) 3 = а 3 + 3а 2 b + 3аb 2 + b 3
Пятая, как вы уже поняли называется куб разности
. Которая находит разности между величинами, как от первого обозначения в кубе отнимаем тройное произведение первого обозначения в квадрате умноженное на второе, к ним прибавляется тройное произведение первого обозначения умноженной на квадрат второго обозначения, минус второе обозначение в кубе.
(а-b) 3 = а 3 - 3а 2 b + 3аb 2 - b 3
Шестая называется - сумма кубов
. Сумма кубов равняется произведению двух слагаемых величин, умноженных на неполный квадрат разности, так как в середине нет удвоенного значения.
а 3 + b 3 = (а+b)(а 2 -аb+b 2)
По другому можно сказать сумму кубов можно назвать произведение в двух скобках.
Седьмая и заключительная, называется разность кубов
(ее легко перепутать с формулой куба разности, но это разные вещи). Разность кубов равняется произведению от разности двух величин, умноженных на неполный квадрат суммы, так как в середине нет удвоенного значения.
а 3 - b 3 = (а-b)(а 2 +аb+b 2)
И так формул сокращенного умножения всего 7, они похожи друг на друга и легко запоминаются, единственно важно не путаться в знаках. Они так же рассчитаны на то, что их можно использовать в обратном порядке и в учебниках собрано довольно много таких заданий. Будьте внимательны и все у вас получится.
Если у вас появились вопросы по формулам, обязательно пишите их в комментариях. Будем рады ответить вам!
Если Вы находитесь в декретном отпуске, но хотите зарабатывать деньги. Просто перейдите по ссылке Интернет бизнес с Орифлейм . Там все очень подробно написано и показано. Будет интересно!
