Логарифмы. История возникновения.
Что такое логарифм?
Логарифм положительного числа b по основанию а, где а > 0,а ≠ 1,называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить b /
Логарифмы – это рифмы,
Словно в музыке слова.
С ними проще вычисленья –
Не сложней, чем дважды два.
Слово ЛОГАРИФМ происходит от греческих слов - число и - отношение. переводится как отношение чисел, одно из которых является членом арифметической прогрессии, а другое геометрической. Слово ЛОГАРИФМ происходит от греческих слов - число и - отношение. переводится как отношение чисел, одно из которых является членом арифметической прогрессии, а другое геометрической.
ЛОГАРИФМ число, применение которого позволяет упростить многие сложные операции арифметики. Использование в вычислениях вместо чисел их логарифмов позволяет заменить умножение более простой операцией сложения, деление - вычитанием, возведение в степень - умножением и извлечение корней – делением.
Впервые понятие логарифмов ввел английский математик Джон Непер. Потомок старинного воинственного шотландского рода. Изучал логику, теологию, право, физику, математику, этику. Увлекался алхимией и астрологией. Изобрел несколько полезных сельскохозяйственных орудий. В 1590-х годах пришел к идее логарифмических вычислений и составил первые таблицы логарифмов, однако свой знаменитый труд "Описание удивительных таблиц логарифмов" опубликовал лишь в 1614 году.
Джон Непер 1550-1617
Первые таблицы десятичных логарифмов были составлены в 1617 г. английским математиком Бриггсом. Многие из них были выведены с помощью выведенной Бриггсом формулы.
Изобретатели логарифмов не ограничились созданием логарифмических таблиц, уже через 9 лет после их разработки в 1623 г. Английским математиком Гантером была создана первая логарифмическая линейка. Она стала рабочим инструментом для многих поколений. В настоящее время мы можем находить значения логарифмов, используя компьютер. Так, в языке программирования BASIC с помощью встроенной функции можно находить натуральные логарифмы чисел.
Логарифмическая линейка
«Логарифмы бывают разные…»
Бригсов логарифм - то же, что десятичный логарифм. Назван по имени Г. Бригса.
Десятичный логарифм - логарифм по основанию 10. Десятичный логарифм числа а обозначают lgа.
Неперов логарифм - (по имени Дж. Непера), то же, что натуральный логарифм.
Натуральный логарифм - логарифм, основание которого - неперово число е = 2,718 28... Натуральный логарифм числа а обозначают ln а.
Джон Непер (1550-1617)
Наибольшее влияние оказали логарифмы на развитие астрономии. Успехи мореплавания в средние века обусловливали большой спрос на астрономические таблицы, составление которых требовало весьма сложных вычислений. Использование логарифмических таблиц значительно облегчало и ускоряло эти вычисления. По образному выражению французского математика Лапласа (1749-1827), изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь.
Общее определение логарифмической функции и ее широкое обобщение дал Леонард Эйлер .
В математике логарифмическая спираль
впервые упоминается в 1638 году
Рене Декартом.
Хищные птицы кружат над добычей по логарифмической спирали. Дело в том, что они лучше видят, если смотрят не прямо на добычу, а чуть в сторону.
Логарифмическая спираль в природе
Один из наиболее распространенных пауков, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмической спирали.
Применение логарифмов
Музыка
Так называемые ступени темперированной хроматической гаммы (12- звуковой) частот звуковых колебаний представляют собой логарифмы. Только основание этих логарифмов равно 2 (а не 10, как принято в других случаях). Номера клавишей рояля представляют собой логарифмы чисел колебаний соответствующих звуков
Звезды, шум и логарифмы
Громкость шума и яркость звезд оцениваются одинаковым образом – по логарифмической шкале.
Психология
Изучая логарифмы, ученые пришли к выводу о том, что величина ощущения пропорциональна логарифму величины раздражения.
Зачем мы изучаем логарифмы?
Во-первых , логарифмы и сегодня позволяют упрощать вычисления.
Во-вторых , испокон веков целью математической науки было помочь людям узнать больше об окружающем мире, познать его закономерности и тайны.
Вывод : логарифмы – важные составляющие не только математики, но и всего окружающего мира, поэтому интерес к ним не ослабевает с годами и их необходимо продолжать изучать.
Важный шаг в изучении логарифмов сделал бельгийский математик Григорий из Сен-Винцента (1647), обнаруживший связь логарифмов и площадей, ограниченных дугой гиперболы, осью абсцисс и соответствующими ординатами. Представление логарифма бесконечным степенным рядом дано Н. Меркатором (1668), нашедшим, что In(1+x) = x Вскоре затем Дж. Грегори (1668) открыл разложение ln Этот ряд очень быстро сходится, если М = N + 1 и N достаточно велико; поэтому он может быть использован для вычисления логарифмов. В развитии теории логарифма большое значение имели работы Л. Эйлера. Им установлено понятие о логарифмировании как действии, обратном возведению в степень.
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР ()
Таким образом, уже в середине XVI в. были разработаны основы учения о логарифмах. Не хватало, однако, полезных, конкретных методов для широкого практического применения этих основ в вычислительной математике, не хватало основанных на осознанной идее логарифмических таблиц. В конце XVI в. Симон Стевин опубликовал таблицу для вычисления сложных процентов, необходимость вычисления которых была вызвана ростом торгово-финансовых операций. Как известно, формула сложных процентов такова: A =a(1+(p/100))t где a - первоначальный капитал, А - наращенный капитал после t лет при P%. Таблица Стевина содержала значения выражений (1+(p/100))t, при этом (p/100) =r Стевин уже выражал в десятичных дробях: 0,04; 0,05;..., которые он впервые открыл в Европе. Сам Стевин, как это ни странно, не заметил того, что его таблицами можно пользоваться для упрощения соответствующих вычислений. Это увидел, однако, один из его современников - Бюрги
Изобретение логарифмов в начале XVII в. тесно связано с развитием в XVI в. производства и торговли, астрономии и мореплавания, требовавших усовершенствования методов вычислительной математики. Все чаще требовалось быстро производить громоздкие действия над многозначными числами, все точнее и точнее должны были быть результаты действий. Вот тогда-то и нашла воплощение идея логарифмов, ценность которых состоит в сведении сложных действий III ступени (возведения в степень и извлечения корня) к более простым действиям II ступени (умножению и делению), а последних - к самым простым, к действиям I ступени (сложению и вычитанию).
Первые таблицы логарифмов составлены независимо друг от друга шотландским матаматиком Дж. Непером() и швейцарцем И. Бюрги (1552 – 1632 (около 8 лет потратил на эту работу). Англичанин Генри Бригс ()-разработал большую таблицу десятичных логарифмов. Английский учитель математики Джон Спейдель составил к 1620 году таблицы натуральных чисел от 1 до Лондонский профессор Эдмунд Тюнтер изобрел логарифмическую шкалу, прообраз логарифмической линейки. Изобретение логарифмов
Уже в 1623 г., т. е. всего через 9 лет после издания первых таблиц, английским математиком Д. Гантером была изобретена первая логарифмическая линейка, ставшая рабочим инструментом для многих поколений. Вплоть до самого последнего времени, когда на наших глазах повсеместное распространение получает электронная вычислительная техника и роль логарифмов как средств вычислений резко снижается.
Термин «ЛОГАРИФМ» предложил Дж. Непер; он возник из сочетания греческих слов logos (здесь отношение) и arithmos (число), которое означало «число отношений». Термин «натуральный логарифм» принадлежит Н. Меркатору. Современное определение логарифма впервые дано английским математиком В. Гардинером (1742). Знак логарифма результат сокращения слова «ЛОГАРИФМ» встречается в различных видах почти одновременно с появлением первых таблиц [напр., Log у И. Кеплера (1624) и Г. Бригса (1631), log и у Б. Кавальери(1632, 1643)]. Историческая справка
На русском языке первые логарифмические таблицы были изданы в 1703 году. Но во всех логарифмических таблицах были допущены ошибки при вычислении. Первые безошибочные таблицы вышли в 1857 году в Берлине в обработке немецкого математика К. Бремикера ())
1. Колмогоров А.Н.. Алгебра и начала анализа. Учебник для классов общеобразовательных учреждений. М., «Просвещение», Алгебра и начала анализа. Учебник для классов. Под редакцией Ш.А. Алимов и др. 11-е изд. М.: Просвещение, Список используемой литературы
«Логарифм числа» - Определение логарифма. Нахождения показателя степени по данным значениям степени и её основания. Основные свойства логарифма. Десятичным называется логарифм, основание которого равно 10. Свойства логарифма. Основное логарифмическое тождество. Логарифмы. Основное логарифмическое тождество. Понятие логарифма числа.
«Натуральный логарифм» - Логарифм по основанию е называется натуральным логарифмом. «Логарифмический дартс». Натуральные логарифмы. Десятичные логарифмы для наших потребностей являются весьма удобными. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми y=0, x=1, x=e и гиперболой. Составить уравнение касательной к графику функции y=lnx в точке x=e.
«Логарифмические функции» - Логарифмическая функция. Логарифм корня. Логарифм степени. Свойства натуральных логарифмов. Решения логарифмических уравнений. Свойства функции. Понятие логарифма. Логарифм произведения. Свойства логарифмов. Переход от одного показателя к другому. Решение логарифмических неравенств. Решение логарифмических уравнений.
«Свойства логарифмов» - Определение логарифма. Если a>0 и a ?1, х > 0, у > 0, р? R, то: Иоганн Генрих Песталоцци. 4. При каких значениях х существует log5x; log3(x-7) ? 3. Сформулируйте основные свойства логарифмов и вычислите: log618 + log62 ; log553 ; log318 – log32 ; log2 lg4 + lg25 ; Счет и вычисления – основа порядка в голове.
«Изобретатель логарифма» - Правильное выполнение некоторых заданий. Возведение в степень имеет два обратных действия. Для чего были придуманы логарифмы? Орпеделение. Определение логарифма можно записать так: a log a b = b. Логарифмы и их свойства. Основное логарифмическое тождество. Правильное решение примеров. Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычислений.
«Урок Логарифмы» - Головоломка. Достигли ли вы поставленной цели? Дайте определение логарифма. Логарифмическая комедия. Над чем еще нужно поработать? Компьютерная самостоятельная работа. Устный тест - опрос. Электронный тест. Индивидуальная работа. Урок обобщение по теме «Логарифмы». Вычислите: Общее решение. Решение.
Слайд 1
Описание слайда:
Слайд 2
Описание слайда:
Слайд 3
Описание слайда:
Слайд 4
Описание слайда:
Слайд 5
Описание слайда:
Слайд 6
Описание слайда:
Изобретение логарифмов Логарифмы необычайно быстро вошли в практику. Изобретатели логарифмов не ограничились разработкой новой теории. Было создано практическое средство - таблицы логарифмов, - резко повысившее производительность труда вычислителей. Первые таблицы логарифмов составлены независимо друг от друга шотландским матаматиком Дж. Непером(1550 - 1617) и швейцарцем И. Бюрги (1552 - 1632). В таблицы Непера, изданные в книгах под названиями "Описание удивительной таблицы логарифмов" (1614 г.) и "Устройство удивительной таблицы логарифмов" (1619 г.), вошли значения логарифмов синусов, косинусов и тангенсов для углов от 0 до 90 с шагом в 1 минуту. Бюрги подготовил свои таблицы логарифмов чисел, по-видимому, к 1610 г., но вышли в свет они в 1620 г., уже после издания таблиц Непера, и поэтому остались незамеченными.
Слайд 7
Описание слайда:
Слайд 8
Описание слайда:
Слайд 9
Описание слайда:
Портретная галерея Шотландский математик, изобретатель логарифмов. Учился в Эдинбургском университете. Основными идеями учения о логарифмах Непер овладел не позднее 1594 г., однако его "Описание удивительной таблицы логарифмов", в котором изложено это учение, было издано в 1614 г. В этом труде содержались определение логарифма, объяснение их свойств, таблицы логарифмов синусов, косинусов, тангенсов и приложения логарифмов в сферической тригонометрии. В "Построении удивительной таблицы логарифмов" (опубликовано в 1619) Непер изложил принцип вычисления таблиц.
Слайд 10
Описание слайда:
Портретная галерея Основные работы Архимеда касались различных практических приложений математики (геометрии), физики, гидростатики и механики. В сочинении "Параболы квадратуры" Архимед обосновал метод расчета площади параболического сегмента, причем сделал это за две тысячи лет до открытия интегрального исчисления. В труде "Об измерении круга" Архимед впервые вычислил число "пи" - отношение длины окружности к диаметру - и доказал, что оно одинаково для любого круга.
Слайд 11
Описание слайда:
Слайд 12
Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint
на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации:
История логарифмов Термин «логарифм» возник из сочетания греческих слов logos – отношение, соотношение и arithmos – число и дословно переводится как отношение чисел. Логарифмы открыл шотландский математик Джон Непер в начале 17 века. Непер Джон (1550 – 1617), шотландский математик, изобретатель логарифмов. Непер является так же составителем первой таблицы логарифмов, которая облегчила работу вычислителей многих поколений. Открытие логарифмов оказало большое влияние на развитие приложений математики. Безграничны приложения показательной и логарифмической функций в самых разнообразных областях науки и техники, а ведь придумали логарифмы для облегчения вычислений. Более трёх столетий прошло с того дня, как в 1614 году были опубликованы первые логарифмические таблицы, составленные Джоном Непером. Они помогали астрономам и инженерам, сокращая время на вычисления, и тем самым, как сказал знаменитый французский астроном, математик и физик Лаплас «Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь». Логарифмическая линейка (счётная линейка), счётный инструмент для упрощения вычислений, с помощью которого операции над числами заменяются операциями над логарифмами этих чисел. Предназначена для инженерных и прочих расчетов. Еще недавно трудно было представить инженера без логарифмической линейки в кармане; которая была изобретена через десять лет после появления логарифмов. Её изобрёл английским математик Гунтер. Она позволяла быстро получать ответ с достаточной для инженера точностью в три значащие цифры. Теперь её из инженерного обихода вытиснили микрокалькуляторы. Но без логарифмической линейки не были бы построены ни первые компьютеры, ни микрокалькуляторы. …Даже изящные искусства питаются ею.Разве музыкальная гамма не есть Набор передовых логарифмов?Из «Оды экспоненте» Многообразные применения показательной функции вдохновили английского поэта Элмера Брила и он написал «Оду экспоненте» Мы знаем, что показательная и логарифмическая функции являются взаимно обратными. Показательную функцию так же называют экспонентой. Логарифмы в искусстве Были поэты, которые не посвящали од эксоненте и логарифмам, но упоминали их в своих стихах. Например в своём стихотворении поэт Борис Слуцкий написал строки Потому – то слово пена,Опадают наши рифмы.И величие степенноОтступает в логарифмы Борис Слуцкий Музыканты редко увлекаются математикой; большинство из них питают к этой науке чувство уважения. Между тем, музыканты встречаются с математикой гораздо чаще, чем сами подозревают, и притом с такими «страшными» вещами, как логарифмы. Известный физик Эйхенвальд вспоминал «Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математики. Он даже говорил с оттенком пренебрежения, что музыка и математика не имеют друг с другом ничего общего. «Правда Пифагор нашел какие-то соотношения между звуковыми колебаниями, - но ведь как раз пифагорова-то гамма для нашей музыки и оказалась неприемлемой». Представьте же себе как неприятно был поражен мой товарищ, когда я доказал ему, что играя по клавишам своего рояля, он играет, собственно говоря, на логарифмах…»И действительно, ступени 12-ти звуковой гаммы частот звуковых колебаний представляют собой логарифмы, основания которых равны двум. Логарифмическая спираль это плоская кривая, описываемая точкой, движущейся по прямой, которая вращается около одной из своих точек О (полюса логарифмической спирали) так, что логарифм расстояния движущейся точки от полюса изменяется пропорционально углу поворота; логарифмическая спираль пересекает под постоянным углом все прямые, выходящие из полюса. Раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причём каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали. По этому раковины многих моллюсков, улиток, а так же рога таких млекопитающих как архары, (горные козлы), закручены по логарифмической спирали. Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения формы роста. Великий немецкий поэт Иоганн Вольфганг Гёте считал её даже математическим символом жизни и духовного развития. Очертания выраженные логарифмической спиралью имеют не только раковины. В подсолнухе семечки расположены по дугам, также близким к логарифмической спирали. Один из наиболее распространённых пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмической спирали. По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности галактика, которой принадлежит Солнечная система.
