Макияж. Уход за волосами. Уход за кожей

Урок по теме:

«Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда»

Цели урока

1. Ознакомиться с основами решения задач на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда плоскостью.

2. Выделить виды задач на построение сечений.

3. Выработать навыки решения задач на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда.

4. Формирование пространственного воображения.

Ход урока.

I Организационный момент.

II Проверка домашнего задания.

Ребята, какие геометрические тела мы изучали на последних уроках? (тетраэдр, параллелепипед).

Что называется тетраэдром?

Что называется параллелепипедом?

А теперь проверим устное домашнее задание.

В учебнике на стр. 31 читаем и отвечаем на вопросы 14,15.

14. Существует ли тетраэдр у которого пять углов граней прямые?

(Нет, так как в четырёх треугольниках, образующих, может быть только четыре прямых угла, по одному в каждом не более).

15. Существует ли параллелепипед, у которого:

а ) Только одна грань прямоугольник. (Нет, так как противоположные грани параллелепипеда равны).

б ) Только две смежные грани ромбы. (Нет, ромбами могут быть только противоположные грани).

в ) Все углы грани острые. (Нет, у параллелограмма есть как острые, так и тупые углы, а каждая грань параллелограмм).

г ) Все углы грани прямые. (Да, в прямоугольном параллелепипеде).

д ) Число всех острых углов грани не равно числу всех тупых углов грани. (Нет, острых и тупых углов поровну в каждой грани).

III Объяснение новой темы.

Теперь переходим к новой теме. Запишите тему урока. Цель сегодняшнего урока:

1. Ознакомиться с основами решения задач на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда плоскостью.

2. Выделить виды задач на построение сечений.

3. Выработать навыки решения задач на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда.

4. Формирование пространственного воображения.

Итак, для решения многих геометрических задач, связанных с тетраэдром и параллелепипедом, полезно уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями.

Что же мы будем понимать под секущей плоскостью ? В учебнике на стр. 27 найдём ответ на этот вопрос.

Секущей плоскостью называют любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника.

Следующее понятие – это сечение. И снова за помощью обращаемся к учебнику. А теперь посмотрите, как выглядит точное определение сечения.

v Где располагаются стороны многоугольника, который является сечением?

v Где располагаются вершины многоугольника, который является сечением?

А теперь ответим на вопрос. Что значит построить сечение многогранника плоскостью. Таким образом, мы в каждой грани будем строить отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани.

Чтобы грамотно построить сечение надо уметь применять различные теоремы и свойства. Ответим на вопрос.

Какие из данных утверждений могут пригодиться при построении сечений?

1. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, содержащей эту точку.

2. Если прямая, лежащая, в одной из пересекающихся плоскостей, пересекает другую плоскость, то она пересекает линию пересечения плоскостей.

3. Если две параллельные плоскости, пересечены третьей, то линии пересечения плоскостей параллельны.

4. Секущая, плоскость пересекает грань многогранника по ломаной линии.

5. В сечении параллелепипеда плоскостью, может получиться:

v отрезок

v треугольник

v четырёхугольник

v пятиугольник

v шестиугольник

v Семиугольник

А теперь вспомним способы задания плоскости:

При построении сечений важно знать:

https://pandia.ru/text/78/131/images/image003_53.jpg" width="559" height="288 src=">

https://pandia.ru/text/78/131/images/image005_39.jpg" width="564" height="355 src=">

Теперь в учебнике рассмотрим основные задачи на построение сечений. И так, задача первая, где необходимо построить сечение тетраэдра по трём точкам, принадлежащим секущей, плоскости, причём две из них лежат в одной плоскости, а третья лежит в другой плоскости.
.jpg" width="588" height="359 src=">

Решение задач. Проверка правильности решения с помощью слайдов.

V Итог урока.

Представьте ситуацию:

Ваш одноклассник заболел и пропустил уроки, на которых проходили тему «Построение сечений многогранников». Вам нужно по телефону объяснить эту тему. Сформулируйте пошаговый алгоритм.

https://pandia.ru/text/78/131/images/image015_14.jpg" width="600" height="284 src=">

А сейчас я проведу тестирование. Вам необходимо выполнить три задания в течение трёх минут. Выберите и выпишите номер рисунков, на которых изображено верные сечения тетраэдра и параллелепипеда, а так же верный рисунок.

VI Домашнее задание . n.14, вопрос 16, № 000,106. Придумать и решить одну задачу на построение сечения тетраэдра или параллелепипеда.

Слайд 2

Информация для учителя. Цель создания этой презентации состоит в том, чтобы наглядно продемонстрировать алгоритмы построения точки пересечения прямой и плоскости, прямой пересечения плоскостей и сечений тетраэдра. Учитель может использовать презентацию при проведении уроков по этой теме, или рекомендовать её для самостоятельного изучения учащимся, пропустившим по какой-то причине её изучение, или для повторения ими отдельных вопросов. Ученики сопровождают изучение презентации заполнением краткого конспекта.

Слайд 3

Информация для ученика. Цель создания этой презентации состоит в том, чтобы наглядно продемонстрировать алгоритмы решения задач на построение в пространстве. Постарайтесь внимательно и, не спеша, изучать комментарии на выносках и сопоставлять их с рисунком. Заполняйте в кратком конспекте все пропуски. При самостоятельном решении задач необходимо вначале самому продумать решение, а затем просмотреть предложенное автором. Запишите вопросы к учителю и задайте их на уроке.

Слайд 4

I.Прямая а пересекает плоскость α. Построить точку пересечения.

α β P m а Ответ: I.Чтобы построить точку пересечения прямой а и плоскости αнужно: 1)провести(найти)плоскость β, проходящую через прямую а и пересекающую плоскость α по прямой т 2) построить точку Р пересечения прямых а и m. Через прямую а проведём плоскость β, пересекающую плоскость αпо прямой т Пересечём прямую а с линией пересечения плоскостей α и β: прямой т. Точка Р общая точка прямой а и плоскости α, т.к. прямая т лежит в плоскости α. Запишите алгоритм в краткий конспект.

Слайд 5

1)Построить точку пересечения прямой МN и плоскости BDC.

D B A C M N P {М, N} (АВС) Ответ: Через прямую МN проходит плоскость АВС, пересекающая плоскость BDC по прямой ВС. Прямая МN пересекается с прямой ВС в точке Р. Прямая ВС лежит в плоскости BDC, значит прямая МN пересекает плоскость BDC в точке Р.

Слайд 6

2)Построить точку пересечения прямой МN и плоскостиАBD.

D B A C M N P Ответ: Просмотреть решение Прямая MN принадлежит плоскостиВDC, которая пересекает плоскость AВD по прямой DB Пересечём прямые MN и DB. Далее

Слайд 7

II. Пусть прямая АВ не параллельна плоскости α. Построить линию пересечения плоскостей αи АВС, если точка С принадлежит плоскости α

B C A α β P m Построим точку пересечения прямой АВ с плоскостьюα. По условию и построению точки С и Р общие для плоскостей АВС и α. По условию и построению точки С и Р общие для плоскостей АВС и α. Значит прямая СР искомая прямая пересечения плоскостей АВС и α. II.Чтобы построить линию пересечения плоскости αи плоскости АВС (С α, {А, В} α, АВ || α),нужно: построить точку пересечения прямой АВ и плоскости α - точку Р; 2) точка Р и С общие точки плоскостей (АВС) и α, значит (АВС) α = СР Запишите алгоритм в краткий конспект.

Слайд 8

3).Построить прямую пересечения плоскостей МNP и АDB.

Построить отрезок пересечения плоскости МNP и грани АDB. M D B A C N P X Q R Ответ: Построим точку пересечения прямой МР с плоскостью ADB (точку Х). Прямая МР лежит в плоскости ADС, пересекающей плоскость ADВ по прямой AD. Прямая МР лежит в плоскости ADС, пересекающей плоскость ADВ по прямой AD. Точки Х и N общие точки плоскостей ADВ и MNP. Значит они пересекаются по прямой ХN. Запишите ход построения в краткий конспект.

Слайд 9

Сечение тетраэдра.

C D B A M N P α Многоугольник, составленный из отрезков, по которым секущая плоскость пересекает грани многогранника, называется сечением многогранника. Отрезки, из которых состоит сечение, называются следами секущей плоскости на гранях. ∆ MNP – сечение. Пусть плоскость пересекает тетраэдр, тогда она называется секущей плоскостью Плоскость пересекает рёбра тетраэдра в точках М,N,P, а грани - по отрезкам MN, MP, NP… Треугольник МNP называется сечением тетраэдра этой плоскостью… Запишите в краткий конспект.

Слайд 10

Сечение тетраэдра может быть так же четырёхугольником.

A C D B M N P Q α MNPQ – сечение.

Слайд 11

Алгоритм построения сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через три данные точки M,N,P.

MNPQ – искомое сечение. D B A C M N P Q X Построить следы секущей плоскости в тех гранях, в которых есть 2 общие точки с ней. 3)Через построенные точки провести прямую, по которой секущая плоскость пересекает плоскость выбранной грани АВС. 4) Отметить и обозначить точки, в которых эта прямая пересекает рёбра грани АВС и достроить остальные следы. 2) Выбрать грань, в которой ещё нет следа. Построить точки пересечения прямых, содержащих уже построенные следы, с плоскостью выбранной грани: АВС.

Слайд 12

Построить сечение тетраэдраплоскостью MNP.2 способ.

D B A C M N P Q X MNPQ – искомое сечение.

Слайд 13

№1. (Решите самостоятельно задачу). Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP.

Q D A C M N P X B X Просмотреть решение Второй способ: Далее

Слайд 14

№2. (Решите самостоятельно). Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP, еслиР принадлежит грани АDC.

Слайд 15

№3. Построить сечение тетраэдраплоскостью α, параллельной ребру CD и проходящей через т. F, лежащую на плоскости DBC, и точку М.

3)α (ADB)= MN, α (ABC)=QP. Q D B A M N P F C Дано: α||DC, {M;F} α, F (BDC), M AD. Построить сечение тетраэдра DABC Т.к. α||DC, то (DBC) α=FP и FP||DC, FP BC=P, FP BD=N. 2) Т. к. α||DC, то (DAC) α=MQ и MQ||DC, MQ AC=Q. DC || NP и NP α, значит DC||α, следовательно MNPQ – искомое сечение. Продолжите фразу: Если данная прямая а параллельна некоторой плоскости α, то любая плоскость, проходящая через эту прямую а и непараллельная плоскости α, пересекает плоскость α по прямой b,……………………………………… параллельной прямой а. Продолжите… α||DC, значит плоскость BDC пересекает α по прямой, параллельной DC и проходящей через точку F α||DC, значит плоскость ADC пересекает α по прямой, параллельной DC и проходящей через точку M

Слайд 16

2)α||DВC, (ADC) (DBC)=CD, (ADC)α=MN MP||CD. P №4. Построить сечение тетраэдраплоскостью α, параллельной грани BDC и проходящей через точку М. B A C M N D Дано: α||DBC, M α, M AD. Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью α α||DВC, (ADB) (DBC)=BD, MN||BD. (ADB)α=MN 3)α (ABC)=NP. ∆ MNP – искомое сечение, т.к………. Продолжите фразу: Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии их пересечения……………………… параллельны. две пересекающиеся прямые MN и MP плоскости α соответственно параллельны двум пересекающимся прямым DB и DC плоскости (DBC), значит α||(DBC). α||DВC, значит плоскости ADВ и ADC пересекают плоскости α и (ВDС) по прямым MN и МР, параллельным DB и DС соответственно и проходящим через точку M.

Слайд 17

Далее М R B A C N №5.Решите самостоятельно и запишите ход решения. Построить сечение тетраэдра плоскостью α, проходящей через точку М и отрезок PN, если PN||AB и М принадлежит плоскости (АВС). Р Q D 1)NP||АВ NP||(ABC) NP α, α (ABC)=MQ MQ||NP. 2)MQ AC=R. α (ADC)=NR, α (BDC)=PQ. RNPQ-искомое сечение. Просмотреть решение NP||(AВC), значит плоскость MNP пересекает плоскость AВС по прямой MQ, параллельной NP и проходящей через точку M.

Слайд 18

Не забудьте сформулировать вопросы учителю, если было что-то не понятно, а также свои рекомендации по совершенствованию этой презентации.

Слайд 19

При создании презентации были использованы учебники и пособия: 1. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. Геометрия 10-11. М. «Просвещение» 2008. 2.Б.Г. Зив, В.М. Мейлер, А.Г. Баханский Задачи по геометрии 7-11.М. «Просвещение» 2000

Посмотреть все слайды

Сегодня еще раз разберем, как построить сечение тетраэдра плоскостью .
Рассмотрим самый простой случай (обязательный уровень), когда 2 точки плоскости сечения принадлежат одной грани, а третья точка - другой грани.

Напомним алгоритм построения сечений такого вида (случай: 2 точки принадлежат одной грани).

1. Ищем грань, которая содержит 2 точки плоскости сечения. Проводим прямую через две точки, лежащие в одной грани. Находим точки ее пересечения с ребрами тетраэдра. Часть прямой, оказавшаяся в грани, есть сторона сечения.

2. Если многоугольник можно замкнуть - сечение построено. Если нельзя замкнуть, то находим точку пересечения построенной прямой и плоскости, содержащей третью точку.

1. Видим, что точки E и F лежат в одной грани (BCD), проведем прямую EF в плоскости (BCD).
2. Найдем точку пересечения прямой EF c ребром тетраэдра BD, это точка Н.
3. Теперь следует найти точку пересечения прямой EF и плоскости, содержащей третью точку G, т.е. плоскости (ADC).
Прямая CD лежит в плоскостях (ADC) и (BDC), значит она пересекается с прямой EF, и точка К является точкой пересечения прямой EF и плоскости (ADC).
4. Далее находим еще две точки, лежащие в одной плоскости. Это точки G и K, обе лежат в плоскости левой боковой грани. Проводим прямую GK, отмечаем точки, в которых эта прямая пересекает ребра тетраэдра. Это точки M и L.
4. Осталось "замкнуть" сечение, т.е.соединить точки, лежащие в одной грани. Это точки M и H, и также L и F. Оба этих отрезка - невидимы, проводим их пунктиром.

В сечении получился четырехугольник MHFL. Все его вершины лежат на ребрах тетраэдра. Выделим получившееся сечение.

Теперь сформулируем "свойства" правильно построенного сечения:

1. Все вершины многоугольника, которое является сечением, лежат на ребрах тетраэдра (параллелепипеда, многоугольника).

2. Все стороны сечения лежат в гранях многогранника.
3. В каждой грани многоранника может находиться не более одной (одна или ни одной!) стороны сечения