Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
Что такое логарифм? Как решать логарифмы? Эти вопросы многих выпускников вводят в ступор. Традиционно тема логарифмов считается сложной, непонятной и страшной. Особенно - уравнения с логарифмами.
Это абсолютно не так. Абсолютно! Не верите? Хорошо. Сейчас, за какие-то 10 - 20 минут вы:
1. Поймете, что такое логарифм .
2. Научитесь решать целый класс показательных уравнений. Даже если ничего о них не слышали.
3. Научитесь вычислять простые логарифмы.
Причём для этого вам нужно будет знать только таблицу умножения, да как возводится число в степень...
Чувствую, сомневаетесь вы... Ну ладно, засекайте время! Поехали!
Для начала решите в уме вот такое уравнение:
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
(от греческого λόγος - «слово», «отношение» и ἀριθμός - «число») числа b по основанию a (log α b ) называется такое число c , и b = a c , то есть записи log α b =c и b=a c эквивалентны. Логарифм имеет смысл, если a > 0, а ≠ 1, b > 0.
Говоря другими словами логарифм числа b по основанию а формулируется как показатель степени , в которую надо возвести число a , чтобы получить число b (логарифм существует только у положительных чисел).
Из данной формулировки вытекает, что вычисление x= log α b , равнозначно решению уравнения a x =b.
Например:
log 2 8 = 3 потому, что 8=2 3 .
Выделим, что указанная формулировка логарифма дает возможность сразу определить значение логарифма , когда число под знаком логарифма выступает некоторой степенью основания. И в правду, формулировка логарифма дает возможность обосновать, что если b=a с , то логарифм числа b по основанию a равен с . Также ясно, что тема логарифмирования тесно взаимосвязана с темой степени числа .
Вычисление логарифма именуют логарифмированием . Логарифмирование - это математическая операция взятия логарифма. При логарифмировании, произведения сомножителей трансформируется в суммы членов.
Потенцирование - это математическая операция обратная логарифмированию. При потенцировании заданное основание возводится в степень выражения, над которым выполняется потенцирование. При этом суммы членов трансформируются в произведение сомножителей.
Достаточно часто используются вещественные логарифмы с основаниями 2 (двоичный), е число Эйлера e ≈ 2,718 (натуральный логарифм) и 10 (десятичный).
На данном этапе целесообразно рассмотреть образцы логарифмов log 7 2, ln√ 5, lg0.0001.
А записи lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 не имеют смысла, так как в первой из них под знаком логарифма помещено отрицательное число , во второй - отрицательное число в основании, а в третьей - и отрицательное число под знаком логарифма и единица в основании.
Стоит отдельно рассмотреть условия a > 0, a ≠ 1, b > 0.при которых дается определение логарифма . Рассмотрим, почему взяты эти ограничения. В это нам поможет равенство вида x = log α b , называемое основным логарифмическим тождеством , которое напрямую следует из данного выше определения логарифма.
Возьмем условие a≠1 . Поскольку единица в любой степени равна единице, то равенство x=log α b может существовать лишь при b=1 , но при этом log 1 1 будет любым действительным числом . Для исключения этой неоднозначности и берется a≠1 .
Докажем необходимость условия a>0 . При a=0 по формулировке логарифма может существовать только при b=0 . И соответственно тогда log 0 0 может быть любым отличным от нуля действительным числом, так как нуль в любой отличной от нуля степени есть нуль. Исключить эту неоднозначность дает условие a≠0 . А при a<0 нам бы пришлось отвергнуть разбор рациональных и иррациональных значений логарифма, поскольку степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Именно по этой причине и оговорено условие a>0 .
И последнее условие b>0 вытекает из неравенства a>0 , поскольку x=log α b , а значение степени с положительным основанием a всегда положительно.
Логарифмы характеризуются отличительными особенностями , которые обусловили их повсеместное употребление для значительного облегчения кропотливых расчетов. При переходе «в мир логарифмов» умножение трансформируется на значительно более легкое сложение, деление — на вычитание, а возведение в степень и извлечение корня трансформируются соответствующе в умножение и деление на показатель степени.
Формулировку логарифмов и таблицу их значений (для тригонометрических функций) впервые издал в 1614 году шотландский математик Джон Непер. Логарифмические таблицы, увеличенные и детализированные прочими учеными, широко использовались при выполнении научных и инженерных вычислений, и оставались актуальными пока не стали применяться электронные калькуляторы и компьютеры.
По мере развития общества, усложнения производства развивалась и математика. Движение от простого к сложному. От обычного учёта методом сложения и вычитания, при их многократном повторении, пришли к понятию умножения и деления. Сокращение многократно повторяемой операции умножения стало понятием возведения в степень. Первые таблицы зависимости чисел от основания и числа возведения в степень были составлены ещё в VIII веке индийским математиком Варасена. С них и можно отсчитывать время возникновения логарифмов.
Возрождение Европы в XVI веке стимулировало и развитие механики. Требовался большой объем вычисления , связанных с умножением и делением многозначных чисел. Древние таблицы оказали большую услугу. Они позволяли заменять сложные операции на более простые – сложение и вычитание. Большим шагом вперёд стала работа математика Михаэля Штифеля, опубликованная в 1544 году, в которой он реализовал идею многих математиков. Что позволило использовать таблицы не только для степеней в виде простых чисел, но и для произвольных рациональных.
В 1614 году шотландец Джон Непер, развивая эти идеи, впервые ввёл новый термин «логарифм числа». Были составлены новые сложные таблицы для расчёта логарифмов синусов и косинусов, а также тангенсов. Это сильно сократило труд астрономов.
Стали появляться новые таблицы, которые успешно использовались учёными на протяжении трёх веков. Прошло немало времени, прежде чем новая операция в алгебре приобрела свой законченный вид. Было дано определение логарифма, и его свойства были изучены.
Только в XX веке с появлением калькулятора и компьютера человечество отказалось от древних таблиц, успешно работавших на протяжении XIII веков.
Сегодня мы называем логарифмом b по основанию a число x, которое является степенью числа а, чтобы получилось число b. В виде формулы это записывается: x = log a(b).
Например, log 3(9) будет равен 2. Это очевидно, если следовать определению. Если 3 возвести в степень 2, то получим 9.
Так, сформулированное определение ставит только одно ограничение, числа a и b должны быть вещественными.
Классическое определение носит название вещественный логарифм и фактически является решением уравнения a x = b. Вариант a = 1 является пограничным и не представляет интереса. Внимание: 1 в любой степени равно 1.
Вещественное значение логарифма определено только при основании и аргументе больше 0, при этом основание не должно равняться 1.
Особое место в области математики играют логарифмы, которые будут называться в зависимости от величины их основания:
Основополагающим свойством логарифмов является правило: логарифм произведения равен логарифмической сумме. log abp = lоg a(b) + log a(p).
Как вариант этого утверждения будет: log с(b/p) = lоg с(b) — log с(p), функция частного равна разности функций.
Из предыдущих двух правил легко видно, что: lоg a(b p) = p * log a(b).
Среди других свойств можно выделить:
Замечание. Не надо делать распространённую ошибку - логарифм суммы не равен сумме логарифмов.
Многие века операция поиска логарифма была довольно трудоёмкой задачей. Математики пользовались известной формулой логарифмической теории разложения на многочлен:
ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*((x^n)/n), где n - натуральное число больше 1, определяющее точность вычисления.
Логарифмы с другими основаниями вычислялись, используя теорему о переходе от одного основания к другому и свойстве логарифма произведения.
Так как этот способ очень трудоёмкий и при решении практических задач трудноосуществим, то использовали заранее составленные таблицы логарифмов, что значительно ускоряло всю работу.
В некоторых случаях использовали специально составленные графики логарифмов, что давало меньшую точность, но значительно ускоряло поиск нужного значения. Кривая функции y = log a(x), построенная по нескольким точкам, позволяет с помощью обычной линейки находить значения функции в любой другой точке. Инженеры длительное время для этих целей использовали так называемую миллиметровую бумагу.
В XVII веке появились первые вспомогательные аналоговые вычислительные условия, которые к XIX веку приобрели законченный вид. Наиболее удачное устройство получило название логарифмическая линейка. При всей простоте устройства, её появление значительно ускорило процесс всех инженерных расчётов, и это переоценить трудно. В настоящее время уже мало кто знаком с этим устройством.
Появление калькуляторов и компьютеров сделало бессмысленным использование любых других устройств.
Для решения различных уравнений и неравенств с использованием логарифмов применяются следующие формулы:
Для решения неравенств полезно знать:
Рассмотрим несколько вариантов применения логарифмов и их свойства. Примеры с решением уравнений:
Рассмотрим вариант размещения логарифма в степени:
Являясь исключительно математическим инструментом, кажется далёким от реальной жизни, что логарифм неожиданно приобрёл большое значение для описания объектов реального мира. Трудно найти науку, где его не применяют. Это в полной мере относится не только к естественным, но и гуманитарным областям знаний.
Приведём несколько примеров числовых зависимостей:
Исторически механика и физика всегда развивались с использованием математических методов исследования и одновременно служили стимулом для развития математики, в том числе логарифмов. Теория большинства законов физики написана языком математики. Приведём только два примера описания физических законов с использованием логарифма.
Решать задачу расчёта такой сложной величины как скорость ракеты можно, применяя формулу Циолковского, которая положила начало теории освоения космоса:
V = I * ln (M1/M2), где
Другой важный пример - это использование в формуле другого великого учёного Макса Планка, которая служит для оценки равновесного состояния в термодинамике.
S = k * ln (Ω), где
Менее очевидным будет использования формул в химии, содержащих отношение логарифмов. Приведём тоже только два примера:
И уж совсем непонятно при чём здесь психология. Оказывается, сила ощущения хорошо описывается этой функцией как обратное отношение значения интенсивности раздражителя к нижнему значению интенсивности.
После вышеприведённых примеров уже не удивляет, что и в биологии широко используется тема логарифмов. Про биологические формы, соответствующие логарифмическим спиралям, можно писать целые тома.
Кажется, невозможно существование мира без связи с этой функцией, и она правит всеми законами. Особенно, когда законы природы связаны с геометрической прогрессией. Стоит обратиться к сайту МатПрофи, и таких примеров найдётся множество в следующих сферах деятельности:
Список может быть бесконечным. Освоив основные закономерности этой функции, можно окунуться в мир бесконечной мудрости.
В соотношении
может быть поставлена задача отыскания любого из трех чисел по двум другим, заданным. Если даны а и то N находят действием возведения в степень. Если даны N и то а находят извлечением корня степени х (или возведением в степень ). Теперь рассмотрим случай, когда по заданным а и N требуется найти х.
Пусть число N положительно: число а положительно и не равно единице: .
Определение. Логарифмом числа N по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получить число N; логарифм обозначается через
Таким образом, в равенстве (26.1) показатель степени находят как логарифм N по основанию а. Записи
имеют одинаковый смысл. Равенство (26.1) иногда называют основным тождеством теории логарифмов; в действительности оно выражает определение понятия логарифма. По данному определению основание логарифма а всегда положительно и отлично от единицы; логарифмируемое число N положительно. Отрицательные числа и нуль логарифмов не имеют. Можно доказать, что всякое число при данном основании имеет вполне определенный логарифм. Поэтому равенство влечет за собой . Заметим, что здесь существенно условие в противном случае вывод был бы не обоснован, так как равенство верно при любых значениях х и у.
Пример 1. Найти
Решение. Для получения числа следует возвести основание 2 в степень Поэтому.
Можно проводить записи при решении таких примеров в следующей форме:
Пример 2. Найти .
Решение. Имеем
В примерах 1 и 2 мы легко находили искомый логарифм, представляя логарифмируемое число как степень основания с рациональным показателем. В общем случае, например для и т. д., этого сделать не удастся, так как логарифм имеет иррациональное значение. Обратим внимание на один связанный с этим утверждением вопрос. В п. 12 мы дали понятие о возможности определения любой действительной степени данного положительного числа. Это было необходимо для введения логарифмов, которые, вообще говоря, могут быть иррациональными числами.
Рассмотрим некоторые свойства логарифмов.
Свойство 1. Если число и основание равны, то логарифм равен единице, и, обратно, если логарифм равен единице, то число и основание равны.
Доказательство. Пусть По определению логарифма имеем а откуда
Обратно, пусть Тогда по определению
Свойство 2. Логарифм единицы по любому основанию равен нулю.
Доказательство. По определению логарифма (нулевая степень любого положительного основания равна единице, см. (10.1)). Отсюда
что и требовалось доказать.
Верно и обратное утверждение: если , то N = 1. Действительно, имеем .
Прежде чем сформулировать следующее свойство логарифмов, условимся говорить, что два числа а и b лежат по одну сторону от третьего числа с, если они оба либо больше с, либо меньше с. Если одно из этих чисел больше с, а другое меньше с, то будем говорить, что они лежат по разные стороны от с.
Свойство 3. Если число и основание лежат по одну сторону от единицы, то логарифм положителен; если число и основание лежат по разные стороны от единицы, то логарифм отрицателен.
Доказательство свойства 3 основано на том, что степень а больше единицы, если основание больше единицы и показатель положителен или основание меньше единицы и показатель отрицателен. Степень меньше единицы, если основание больше единицы и показатель отрицателен или основание меньше единицы и показатель положителен.
Требуется рассмотреть четыре случая:
Ограничимся разбором первого из них, остальные читатель рассмотрит самостоятельно.
Пусть тогда в равенстве показатель степени не может быть ни отрицательным, ни равным нулю, следовательно, он положителен, т. е. что и требовалось доказать.
Пример 3. Выяснить, какие из указанных ниже логарифмов положительны, какие отрицательны:
Решение, а) так как число 15 и основание 12 расположены по одну сторону от единицы;
б) , так как 1000 и 2 расположены по одну сторону от единицы; при этом несущественно, что основание больше логарифмируемого числа;
в) , так как 3,1 и 0,8 лежат по разные стороны от единицы;
г) ; почему?
д) ; почему?
Следующие свойства 4-6 часто называют правилами логарифмирования: они позволяют, зная логарифмы некоторых чисел, найти логарифмы их произведения, частного, степени каждого из них.
Свойство 4 (правило логарифмирования произведения). Логарифм произведения нескольких положительных чисел по данному основанию равен сумме логарифмов этих чисел по тому же основанию.
Доказательство. Пусть даны положительные числа .
Для логарифма их произведения напишем определяющее логарифм равенство (26.1):
Отсюда найдем
Сравнив показатели степени первого и последнего выражений, получим требуемое равенство:
Заметим, что условие существенно; логарифм произведения двух отрицательных чисел имеет смысл, но в этом случае получим
В общем случае, если произведение нескольких сомножителей положительно, то его логарифм равен сумме логарифмов модулей этих сомножителей.
Свойство 5 (правило логарифмирования частного). Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя, взятых по тому же основанию. Доказательство. Последовательно находим
что и требовалось доказать.
Свойство 6 (правило логарифмирования степени). Логарифм степени какого-либо положительного числа равен логарифму этого числа, умноженному на показатель степени.
Доказательство. Запишем снова основное тождество (26.1) для числа :
что и требовалось доказать.
Следствие. Логарифм корня из положительного числа равен логарифму подкоренного числа, деленному на показатель корня:
Доказать справедливость этого следствия можно, представив как и воспользовавшись свойством 6.
Пример 4. Прологарифмировать по основанию а:
а) (предполагается, что все величины b, с, d, е положительны);
б) (преполагается, что ).
Решение, а) Удобно перейти в данном выражении к дробным степеням:
На основании равенств (26.5)-(26.7) теперь можно записать:
Мы замечаем, что над логарифмами чисел производятся действия более простые, чем над самими числами: при умножении чисел их логарифмы складываются, при делении - вычитаются и т.д.
Именно поэтому логарифмы получили применение в вычислительной практике (см. п. 29).
Действие, обратное логарифмированию, называется потенцированием, а именно: потенцированием называется действие, с помощью которого по данному логарифму числа находится само это число. По существу потенцирование не является каким-либо особым действием: оно сводится к возведению основания в степень (равную логарифму числа). Термин «потенцирование» можно считать синонимом термина «возведенение в степень».
При потенцировании надо пользоваться правилами, обратными по отношению к правилам логарифмирования: сумму логарифмов заменить логарифмом произведения, разность логарифмов - логарифмом частного и т. д. В частности, если перед знаком логарифма находится какой-либо множитель, то его при потенцировании нужно переносить в показатель степени под знак логарифма.
Пример 5. Найти N, если известно, что
Решение. В связи с только что высказанным правилом потенцирования множители 2/3 и 1/3, стоящие перед знаками логарифмов в правой части данного равенства, перенесем в показатели степени под знаками этих логарифмов; получим
Теперь разность логарифмов заменим логарифмом частного:
для получения последней дроби в этой цепочке равенств мы предыдущую дробь освободили от иррациональности в знаменателе (п. 25).
Свойство 7. Если основание больше единицы, то большее число имеет больший логарифм (а меньшее - меньший), если основание меньше единицы, то большее число имеет меньший логарифм {а меньшее - больший).
Это свойство формулируют также и как правило логарифмирования неравенств, обе части которых положительны:
При логарифмировании неравенств по основанию, большему единицы, знак неравенства сохраняется, а при логарифмировании по основанию, меньшему единицы, знак неравенства меняется на противоположный (см. также п. 80).
Доказательство основано на свойствах 5 и 3. Рассмотрим случай, когда Если , то и, логарифмируя, получим
(а и N/М лежат по одну сторону от единицы). Отсюда
Случай а следует , читатель разберет самостоятельно.
log a r b r =log a b или log a b = log a r b r
Значение логарифма не изменится, если основание логарифма и число под знаком логарифма возвести в одну и ту же степень.
Под знаком логарифма могут находиться только положительные числа, причем, основание логарифма не равно единице.
Примеры.
1) Сравнить log 3 9 и log 9 81.
log 3 9=2, так как 3 2 =9;
log 9 81=2, так как 9 2 =81.
Значит, log 3 9=log 9 81.
Заметим, что основание второго логарифма равно квадрату основания первого логарифма: 9=3 2 , а число под знаком второго логарифма равно квадрату числа под знаком первого логарифма: 81=9 2 . Получается, что и число и основание первого логарифма log 3 9 были возведены во вторую степень, и значение логарифма от этого не изменилось:
Далее, так как извлечение корня n -й степени из числа а есть возведение числа а в степень ( 1 / n ), то из log 9 81 можно получить log 3 9 извлечением квадратного корня из числа и из основания логарифма:
2) Проверить равенство: log 4 25=log 0,5 0,2.
Рассмотрим первый логарифм. Извлечем квадратный корень из основания 4 и из числа 25 ; получаем: log 4 25=log 2 5.
Рассмотрим второй логарифм. Основание логарифма: 0,5= 1 / 2 . Число под знаком этого логарифма: 0,2= 1 / 5 . Возведем каждое из этих чисел в минус первую степень:
0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;
0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.
Таким образом, log 0,5 0,2=log 2 5. Вывод: данное равенство верно.
Решить уравнение:
log 4 x 4 +log 16 81=log 2 (5x+2). Приведем логарифмы слева к основанию 2 .
log 2 x 2 +log 2 3=log 2 (5x+2). Извлекли квадратный корень из числа и из основания первого логарифма. Извлекли корень четвертой степени из числа и основания второго логарифма.
log 2 (3x 2)=log 2 (5x+2). Преобразовали сумму логарифмов в логарифм произведения.
3x 2 =5x+2. Получили после потенцирования.
3x 2 -5x-2=0. Решаем квадратное уравнение по общей формуле для полного квадратного уравнения:
a=3, b=-5, c=-2.
D=b 2 -4ac=(-5) 2 -4∙3∙(-2)=25+24=49=7 2 >0; 2 действительных корня.
Проверка.
x=2.
log 4 2 4 +log 16 81=log 2 (5∙2+2);
log 2 2 2 +log 2 3=log 2 12;
log 2 (4∙3)=log 2 12;
log 2 12=log 2 12;
log a n b
=(1/
n
)∙
log a b
Логарифм числаb по основанию a n равен произведению дроби 1/ n на логарифм числа b по основанию a .
Найти: 1) 21log 8 3+40log 25 2; 2) 30log 32 3∙log 125 2 , если известно, что log 2 3=b , log 5 2=c.
Решение.
Решить уравнения:
1) log 2 x+log 4 x+log 16 x=5,25.
Решение.
Приведем данные логарифмы к основанию 2. Применим формулу: log a n b =(1/ n )∙ log a b
log 2 x+(½) log 2 x+(¼) log 2 x=5,25;
log 2 x+0,5log 2 x+0,25log 2 x=5,25. Приводим подобные слагаемые:
(1+0,5+0,25)·log 2 x=5,25;
1,75·log 2 x=5,25 |:1,75
log 2 x=3. По определению логарифма:
2) 0,5log 4 (x-2)+log 16 (x-3)=0,25.
Решение. Логарифм по основанию 16 приведем к основанию 4.
0,5log 4 (x-2)+0,5log 4 (x-3)=0,25 |:0,5
log 4 (x-2)+log 4 (x-3)=0,5. Преобразуем сумму логарифмов в логарифм произведения.
log 4 ((x-2)(x-3))=0,5;
log 4 (x 2 -2x-3x+6)=0,5;
log 4 (x 2 -5x+6)=0,5. По определению логарифма:
x 2 -5x+4=0. По теореме Виета:
x 1 =1; x 2 =4. Первое значение х не подойдет, так как при х=1 логарифмы данного равенства не существуют, ведь под знаком логарифма могут находиться только положительные числа.
Проверим данное уравнение при х=4.
Проверка.
0,5log 4 (4-2)+log 16 (4-3)=0,25
0,5log 4 2+log 16 1=0,25
0,5∙0,5+0=0,25
log a b=log c b/log c a
Логарифм числа b по основанию а равен логарифму числа b по новому основанию с , деленному на логарифм старого основания а по новому основанию с .
Примеры:
1) log 2 3=lg3/lg2;
2) log 8 7=ln7/ln8.
Вычислить:
1) log 5 7 , если известно, что lg7 ≈0,8451; lg5 ≈0,6990.
c b / log c a .
log 5 7=lg7/lg5≈0,8451:0,6990≈1,2090.
Ответ: log 5 7 ≈1,209 0≈1,209 .
2) log 5 7 , если известно, что ln7 ≈1,9459; ln5 ≈1,6094.
Решение. Применяем формулу: log a b =log c b / log c a .
log 5 7=ln7/ln5≈1,9459:1,6094≈1,2091.
Ответ: log 5 7 ≈1,209 1≈1,209 .
Найдите х:
1) log 3 x=log 3 4+log 5 6/log 5 3+log 7 8/log 7 3.
Используем формулу: log c b / log c a =log a b. Получаем:
log 3 x=log 3 4+log 3 6+log 3 8;
log 3 x=log 3 (4∙6∙8);
log 3 x=log 3 192;
x=192 .
2) log 7 x=lg143-log 6 11/log 6 10-log 5 13/log 5 10 .
Используем формулу: log c b / log c a =log a b . Получаем:
log 7 x=lg143-lg11-lg13;
log 7 x=lg143- (lg11+lg13);
log 7 x=lg143-lg (11∙13);
log 7 x=lg143-lg143;
x=1.
Страница 1 из 1 1
