Исследование функции.
1) D(y) – Область опрделения: множество всех тех значений переменной х. при которых алгебраические выражения f(x) и g(x) имеют смысл.
Если функция задана формулой, то область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых формула имеет смысл.
2) Свойства функции: четность/нечетность, периодичность:
Нечётными и чётными называются функции, графики которых обладают симметрией относительно изменения знака аргумента.
Нечётная функция - функция, меняющая значение на противоположное при изменении знака независимой переменной (симметричная относительно центра координат).
Чётная функция - функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимой переменной (симметричная относительно оси ординат).
Ни чётная ни нечётная функция (функция общего вида) - функция, не обладающая симметрией. В эту категорию относят функции, не подпадающие под предыдущие 2 категории.
Функции, не принадлежащие ни одной из категорий выше, называются ни чётными ни нечётными (или функциями общего вида).
Нечётные функции
Нечётная степень где - произвольное целое число.
Чётные функции
Чётная степень где - произвольное целое число.
Периоди́ческая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу некоторого фиксированного ненулевого числа (пери́ода функции) на всей области определения.
3) Нули (корни) функции - точки, где она обращается в ноль.
Нахождение точки пересечения графика с осью Oy . Для этого нужно вычислить значение f (0). Найти также точки пересечения графика с осью Ox , для чего найти корни уравнения f (x ) = 0 (или убедиться в отсутствии корней).
Точки, в которых график пересекает ось , называют нулями функции . Чтобы найти нули функции нужно решить уравнение , то есть найти те значения «икс» , при которых функция обращается в ноль.
4) Промежутки постоянства знаков, знаки в них.
Промежутки, где функция f(x) сохраняет знак.
Интервал знакопостоянства – это интервал, в каждой точке которого функция положительна либо отрицательна.
ВЫШЕ оси абсцисс.
НИЖЕ оси .
5) Непрерывность (точки разрыва, характер разрыва, ассимптоты).
Непрерывная функция - функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.
Если предел функции существует , но функция не определена в этой точке, либо предел не совпадает со значением функции в данной точке:
,
то точка называется точкой устранимого разрыва функции (в комплексном анализе -устранимая особая точка).
Если
«поправить» функцию в
точке устранимого разрыва и положить 
,
то получится функция, непрерывная в
данной точке. Такая операция над функцией
называется доопределением
функции до непрерывной
или доопределением
функции по непрерывности
,
что и обосновывает название точки, как
точки устранимого
разрыва.
Точки разрыва первого и второго рода
Если функция имеет разрыв в данной точке (то есть предел функции в данной точке отсутствует или не совпадает со значением функции в данной точке), то для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций односторонних пределов :
если оба односторонних предела существуют и конечны, то такую точку называют точкой разрыва первого рода . Точки устранимого разрыва являются точками разрыва первого рода;
если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода .
Аси́мпто́та - прямая , обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви вбесконечность.
Вертикальная
Вертикальная
асимптота - прямая предела 
.
Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:
Горизонтальная асимптота - прямая вида при условии существования предела
.
Наклонная асимптота - прямая вида при условии существования пределов
Замечание: функция может иметь не более двух наклонных (горизонтальных) асимптот.
Замечание: если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен ), то наклонной асимптоты при (или ) не существует.
если в
п. 2.), то ,
и предел находится
по формуле горизонтальной асимптоты, 
.
6) Нахождение промежутков монотонности. Найти интервалы монотонности функции f (x )(то есть интервалы возрастания и убывания). Это делается с помощью исследования знака производной f (x ). Для этого находят производную f (x ) и решают неравенство f (x )0. На промежутках, где это неравенство выполнено, функция f (x )возрастает. Там, где выполнено обратное неравенство f (x )0, функция f (x )убывает.
Нахождение локального экстремума. Найдя интервалы монотонности, мы можем сразу определить точки локального экстремума там, где возрастание сменяется убыванием, располагаются локальные максимумы, а там, где убывание сменяется возрастанием - локальные минимумы. Вычислить значение функции в этих точках. Если функция имеет критические точки, не являющиеся точками локального экстремума, то полезно вычислить значение функции и в этих точках.
Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции y = f(x) на отрезке (продолжение)
|
1. Найти производную функции: f (x ). 2. Найти точки, в которых производная равна нулю: f (x )=0x 1, x 2 ,... 3. Определить принадлежность точек х 1 , х 2 , … отрезку [a ; b ]: пусть x 1a ;b , а x 2a ;b . |
Четность и нечетность функции являются одним из основных ее свойств, и на четность занимает внушительную часть школьного курса по математике. Она во много определяет характер поведения функции и значительно облегчает построение соответствующего графика.
Определим четность функции. Вообще говоря, исследуемую функцию считают четной, если для противоположных значений независимой переменной (x), находящихся в ее области определения, соответствующие значения y (функции) окажутся равными.
Дадим более строгое определение. Рассмотрим некоторую функцию f (x), которая задана в области D. Она будет четной, если для любой точки x, находящейся в области определения:
Из приведенного определения следует условие, необходимое для области определения подобной функции, а именно, симметричность относительно точки О, являющейся началом координат, поскольку если некоторая точка b содержится в области определения четной функции, то соответствующая точка - b тоже лежит в этой области. Из вышесказанного, таким образом, вытекает вывод: четная функция имеет симметричный по отношению к оси ординат (Oy) вид.
Как на практике определить четность функции?
Пусть задается с помощью формулы h(x)=11^x+11^(-x). Следуя алгоритму, вытекающему непосредственно из определения, исследуем прежде всего ее область определения. Очевидно, что она определена для всех значений аргумента, то есть первое условие выполнено.
Следующим шагом подставим вместо аргумента (x) его противоположное значение (-x).
Получаем:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Поскольку сложение удовлетворяет коммутативному (переместительному) закону, то очевидно, h(-x) = h(x) и заданная функциональная зависимость - четная.
Проверим четность функции h(x)=11^x-11^(-x). Следуя тому же алгоритму, получаем, что h(-x) = 11^(-x) -11^x. Вынеся минус, в итоге, имеем
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Следовательно, h(x) - нечетная.
Кстати, следует напомнить, что есть функции, которые невозможно классифицировать по этим признакам, их называют ни четными, ни нечетными.
Четные функции обладают рядом интересных свойств:
Четность функции можно использовать при решении уравнений.
Чтобы решить уравнение типа g(x) = 0, где левая часть уравнения представляет из себя четную функцию, будет вполне достаточно найти ее решения для неотрицательных значений переменной. Полученные корни уравнения необходимо объединить с противоположными числами. Один из них подлежит проверке.
Это же успешно применяют для решения нестандартных задач с параметром.
Например, есть ли какое-либо значение параметра a, при котором уравнение 2x^6-x^4-ax^2=1 будет иметь три корня?
Если учесть, что переменная входит в уравнение в четных степенях, то понятно, что замена х на - х заданное уравнение не изменит. Отсюда следует, что если некоторое число является его корнем, то им же является и противоположное число. Вывод очевиден: корни уравнения, отличные от нуля, входят в множество его решений «парами».
Ясно, что само число 0 не является, то есть число корней подобного уравнения может быть только четным и, естественно, ни при каком значении параметра оно не может иметь трех корней.
А вот число корней уравнения 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 может быть нечетным, причем для любого значения параметра. Действительно, легко проверить, что множество корней данного уравнения содержит решения «парами». Проверим, является ли 0 корнем. При подстановке его в уравнение, получаем 2=2 . Таким образом, кроме «парных» 0 также является корнем, что и доказывает их нечетное количество.
Русские былины – это отражение исторических событий, пересказанных народом, и как следствие, претерпевших сильные изменения. Каждый богатырь и злодей в них – это чаще всего реально существовавшая личность, чья жизнь или деятельность была взята за основу персонажа либо собирательный и очень важный для того времени образ.
Славный русский богатырь и храбрый воин. Именно таким предстает Илья Муромец в русском былинном эпосе. Служивший верой и правдой князю Владимиру, воин с рождения был парализован и сидел на печи ровно 33 года. Отважный, сильный и бесстрашный был он вылечен от паралича старцами и всю свою силу богатырскую отдал защите русских земель от Соловья-разбойника, нашествия ига татарского и Идолища Поганого.
У героя былин имеется реальный прототип – Илия Печерский, причисленный к лику святых как Илья Муромец. В юности он перенес паралич конечностей, а скончался от удара копьем в сердце.
Еще один герой из прославленной тройки богатырей русских. Служил он князю Владимиру и выполнял его личные поручения. Был наиболее приближенным из всех богатырей к княжескому семейству. Крепкий, храбрый, ловкий и бесстрашный, он прекрасно плавал, умел играть на гуслях, знал порядка 12 языков и являлся дипломатом при решении дел государственных.
Реальным прототипом славного воина является воевода Добрыня, который приходился дядей самому князю по материнской линии.
Алеша Попович – младший из тройки богатырей. Славен не столько силой своей, сколько натиском, находчивостью и хитростью. Любитель хвастнуть своими достижениями, он наставлялся на путь истинный старшими богатырями. По отношению к ним вел себя двояко. Поддерживая и оберегая славную тройку, он ложно похоронил Добрыню, дабы жениться на жене его Настасье.
Олеша Попович – ростовский храбрый боярин, имя которого и связывают с появлением образа былинного героя-богатыря.
Удачливый гусляр из новгородских былин. Долгие годы зарабатывал на хлеб насущный игрой на гуслях. Получив награду от Царя Морского, Садко разбогател и с 30 кораблями отправился по морю в страны заморские. По пути забрал его к себе благодетель в качестве откупа. По наставлению Николая Чудотворца гусляру удалось вырваться из плена.
Прообразом героя считается Содко Сытинець, новгородский купец.
Великан и богатырь, обладавший недюжинной силой. Огромный и могучий, рожденный в горах Святых. При его ходьбе леса содрогались и реки разливались. Часть своей силы Святогор в писаниях русского эпоса передал Илье Муромцу. Вскоре после этого и умер.
Реального прототипа образа Святогора, нет. Он являет собой символ огромной первобытной силы, которой так и не нашлось применения.
Богатырь и крестьянин, вспахивавший земли. Согласно былинам был знаком со Святогором и дал тому суму поднять полную тяжести земной. Биться с пахараем, согласно преданию, нельзя было, находился он под защитой Матушки Сырой Земли. Дочери его – жены богатырей, Ставра и Добрыни.
Образ Микулы выдуманный. Само имя является производным от распространенных в то время Михаила и Николая.
Герой-богатырь древнейших былин. Обладал не только внушительной силой, но и умением понимать язык птиц, а также оборачиваться любым животным и оборачивать в них других. Ходил с походами на земли турецкие и индийские, и после становился их правителем.
Многими учеными образ Вольги Святославича отождествляется с Олегом Вещим.
Герой киевских былин. Отважный богатырь, обладавший огромной силой. Мог без труда разорвать сложенную дюжину бычьих шкур. Вырывал шкуру с мясом у несущихся на него разъяренных быков. Прославился тем, что победил змея, освободив от его плена царевну.
Своим появлениям герой обязан мифам о Перуне, сведенных к бытовым проявлениям чудесной силы.
Ставр Годинович – боярин из Черниговщины. Известен своей хорошей игрой на гуслях и крепкой любовью к жене, чьими талантами не прочь был похвалиться перед другими. В былинах роль играет не главную. Более известна его жена Василиса Микулишна, вызволившая мужа из заточения в темницах Владимира Красна Солнышка.
Упоминание о реальном сотском Ставре имеется в летописях 1118 года. Он был также заточен в погребах князя Владимира Мономаха после беспорядков.
Ярый противник Ильи Муромца и разбойник, который долгие годы грабил и пеших, и конных на им же заложенной дороге. Убивал их не ружьем, а собственным свистом. В былинах чаще всего предстает в человеческом обличье с явно выраженными тюркскими чертами лица.
Считается, что образ его взят у мордвичей, проживавших в Нижнем Новгороде. Традиционные их имена – это названия птиц: Соловей, Скворец и т.д.
Дракон. Дышащий огнем с тремя головами. Это классический образ Змея Горыныча в русских былинах. Тело у змея одно, имеются крылья, большие острые когти, а также стрелоподобный хвост. Сторожит мост-проход в царство мертвых и извергает огонь, когда нападает. Живет в горах, отсюда и прозвище «Горыныч».
Образ змея мифический. Подобные встречаются в сербской и иранской мифологии.
Идолище – тоже богатырь, только от сил темных. Из-за своего чревоугодия имеет огромное бесформенное тулово. Злой, некрещеный и не признающий религий. Грабил города со своей ратью, попутно запрещая милостыню и церкви. Побывал на землях русских, в Турции и Швеции.
В истории прототипом Идолища был хан Итлар, совершавший варварские набеги на города земель русских.
