Как известно, умножение чисел сводится к суммированию частичных произведений, полученных при умножении текущего разряда множителя В на множимое Л. Для двоичных чисел частичные произведения равны множимому или нулю. Поэтому умножение двоичных чисел сводится к последовательному суммированию частичных произведений со сдвигом. Для десятичных чисел частичные произведения могут принимать 10 различных значений, включая нуль. Поэтому для получения частичных произведений вместо умножения может быть использовано многократное последовательное суммирование множимого Л. Для иллюстрации алгоритма умножения десятичных чисел воспользуемся примером.
Пример 2.26. Па рис. 2.15, а приведено умножение целых десятичных чисел Л х б = 54 х 23, начиная с младшего разряда множителя. Для умножения используется следующий алгоритм:
За исходное состояние принимается 0. Первая сумма получается прибавлением к нулю множимого Л = 54. Затем к первой сумме снова прибавляется множимое А = 54. И наконец, после третьего суммирования получается первое частичное произведение, равное 0"+ 54 + 54 + 54 = 162;
Рис. 2.15. Алгоритм умножения целых десятичных чисел 54 х 23 (а) и принцип его реализация (б)
Рассмотрим на примере возможность схемной реализации алгоритма с использованием операций суммирования, вычитания и сдвига.
Пример 2.27. Пусть в регистре R t постоянно хранится множимое А = 54. В исходном состоянии в регистр R 2 помещаем множитель В = 23, а регистр R 3 загружаем нулями. Для получения первого частичного произведения (162) к содержимому регистра трижды прибавляем множимое А = 54, уменьшая при этом каждый раз на единицу содержимое регистра R T После того как младший разряд регистра R., станет равным нулю, произведем сдвиг вправо на один разряд содержимого обоих регистров /?., и R.,. Наличие 0 в младшем разряде R 2 в свидетельствует о том, что формирование частичного произведения завершено и необходимо произвести сдвиг. Затем выполним две операции сложения множимого А = 54 с содержимым регистра и вычитания единицы из содержимого регистра R 0. После второй операции младший разряд регистра R., станет равным нулю. Поэтому, выполнив сдвиг вправо на один разряд содержимого регистров R 3 и R Y получим искомое произведение Р = 1242.
Реализация алгоритма умножения десятичных чисел в двоично-десятичных кодах (рис. 2.16) имеет особенности, связанные с выполнением операций сложения и вычитания
Рис. 2.16.
(см. параграф 2.3), а также сдвига тетрады на четыре разряда. Рассмотрим их в условиях примера 2.27.
Пример 2.28. Умножение чисел с плавающей точкой. Для получения произведения чисел А и В с плавающей точкой необходимо определить М с = М л х М н, Р с = Р { + Р н. При этом используются правила умножения и алгебраического сложения чисел с фиксированной точкой. Произведению присваивается знак "+", если множимое и множитель имеют одинаковые знаки, и знак "-", если их знаки разные. При необходимости выполняется нормализация результирующей мантиссы с соответствующей коррекцией порядка.
Пример 2.29. Умножение двоичных нормализованных чисел:
При выполнении операции умножения могут иметь место особые случаи, которые обрабатываются специальными командами процессора. Например, если один из сомножителей равен нулю, операция умножения не выполняется (блокируется) и сразу формируется нулевой результат.
На прошлом уроке мы научились складывать и вычитать десятичные дроби (см. урок «Сложение и вычитание десятичных дробей »). Заодно оценили, насколько упрощаются вычисления по сравнению с обычными «двухэтажными» дробями.
К сожалению, с умножением и делением десятичных дробей подобного эффекта не возникает. В некоторых случаях десятичная запись числа даже усложняет эти операции.
Для начала введем новое определение. Мы будем встречаться с ним довольно часто, и не только на этом уроке.
Значащая часть числа - это все, что находится между первой и последней ненулевой цифрой, включая концы. Речь идет только о цифрах, десятичная точка не учитывается.
Цифры, входящие в значащую часть числа, называются значащими цифрами. Они могут повторяться и даже быть равными нулю.
Например, рассмотрим несколько десятичных дробей и выпишем соответствующие им значащие части:
Обратите внимание: нули, стоящие внутри значащей части числа, никуда не деваются. Мы уже сталкивались с чем-то подобным, когда учились переводить десятичные дроби в обычные (см. урок «Десятичные дроби »).
Этот момент настолько важен, а ошибки здесь допускают так часто, что в ближайшее время я опубликую тест на эту тему. Обязательно потренируйтесь! А мы, вооружившись понятием значащей части, приступим, собственно, к теме урока.
Операция умножения состоит из трех последовательных шагов:
Еще раз напомню, что нули, стоящие по бокам от значащей части, никогда не учитываются. Игнорирование этого правила приводит к ошибкам.
- 0,28 · 12,5;
- 6,3 · 1,08;
- 132,5 · 0,0034;
- 0,0108 · 1600,5;
- 5,25 · 10 000.
Работаем с первым выражением: 0,28 · 12,5.
Теперь разберемся с выражением 6,3 · 1,08.
Добрались до третьего выражения: 132,5 · 0,0034.
Следующее выражение: 0,0108 · 1600,5.
Наконец, последнее выражение: 5,25 · 10 000.
Обратите внимание на последний пример: поскольку десятичная точка перемещается в разных направлениях, суммарный сдвиг находится через разность. Это очень важный момент! Вот еще пример:
Рассмотрим числа 1,5 и 12 500. Имеем: 1,5 → 15 (сдвиг на 1 вправо); 12 500 → 125 (сдвиг на 2 влево). Мы «шагаем» на 1 разряд вправо, а затем - на 2 влево. В итоге, мы шагнули на 2 − 1 = 1 разряд влево.
Деление - это, пожалуй, самая сложная операция. Конечно, здесь можно действовать по аналогии с умножением: делить значащие части, а затем «двигать» десятичную точку. Но в этом случае возникает много тонкостей, которые сводят на нет потенциальную экономию.
Поэтому давайте рассмотрим универсальный алгоритм, который чуть-чуть длиннее, но намного надежнее:
Задача. Найдите значение выражения:
- 3,51: 3,9;
- 1,47: 2,1;
- 6,4: 25,6:
- 0,0425: 2,5;
- 0,25: 0,002.
Считаем первое выражение. Для начала переведем оби дроби в десятичные:
Аналогично поступим со вторым выражением. Числитель первой дроби снова разложится на множители:
В третьем и четвертом примерах есть важный момент: после избавления от десятичной записи возникают сократимые дроби. Однако мы не будем выполнять это сокращение.
Последний пример интересен тем, что в числителе второй дроби стоит простое число. Здесь просто нечего разлагать на множители, поэтому считаем «напролом»:
Иногда в результате деления получается целое число (это я про последний пример). В таком случае третий шаг вообще не выполняется.
Кроме того, при делении часто возникают «некрасивые» дроби, которые нельзя перевести в десятичные. Этим деление отличается от умножения, где результаты всегда представимы в десятичной форме. Разумеется, в таком случае последний шаг опять же не выполняется.
Обратите также внимание на 3-й и 4-й примеры. В них мы намеренно не сокращаем обычные дроби, полученные из десятичных. Иначе это усложнит обратную задачу - представление конечного ответа снова в десятичном виде.
Запомните: основное свойство дроби (как и любое другое правило в математике) само по себе еще не означает, что его надо применять везде и всегда, при каждом удобном случае.
В курсе средней и старшей школы учащиеся проходили тему «Дроби». Однако это понятие гораздо шире, чем дается в процессе обучения. Сегодня понятие дроби встречается достаточно часто, и не каждый может провести вычисления какого-либо выражения, к примеру, умножение дробей.
Так исторически сложилось, что дробные числа появились из-за необходимости измерять. Как показывает практика, часто встречаются примеры на определение длины отрезка, объема прямоугольного прямоугольника.
Первоначально ученики знакомятся с таким понятием, как доля. К примеру, если разделить арбуз на 8 частей, то каждому достанется по одной восьмой арбуза. Вот эта одна часть из восьми и называется долей.
Доля, равная ½ от какой-либо величины, называется половиной; ⅓ - третью; ¼ - четвертью. Записи вида 5 / 8 , 4 / 5 , 2 / 4 называют обыкновенными дробями. Обыкновенная дробь разделяется на числитель и знаменатель. Между ними находится черта дроби, или дробная черта. Дробную черту можно нарисовать в виде как горизонтальной, так и наклонной линии. В данном случае она обозначает знак деления.
Знаменатель представляет, на сколько одинаковых долей разделяют величину, предмет; а числитель - сколько одинаковых долей взято. Числитель пишется над дробной чертой, знаменатель - под ней.
Удобнее всего показать обыкновенные дроби на координатном луче. Если единичный отрезок разделить на 4 равные доли, обозначить каждую долю латинской буквой, то в результате можно получить отличное наглядное пособие. Так, точка А показывает долю, равную 1 / 4 от всего единичного отрезка, а точка В отмечает 2 / 8 от данного отрезка.
Дроби бывают обыкновенные, десятичные, а также смешанные числа. Кроме того, дроби можно разделить на правильные и неправильные. Эта классификация больше подходит для обыкновенных дробей.
Под правильной дробью понимают число, у которого числитель меньше знаменателя. Соответственно, неправильная дробь - число, у которого числитель больше знаменателя. Второй вид обычно записывают в виде смешанного числа. Такое выражение состоит из целой и дробной части. Например, 1½. 1 - целая часть, ½ - дробная. Однако если нужно провести какие-то манипуляции с выражением (деление или умножение дробей, их сокращение или преобразование), смешанное число переводится в неправильную дробь.
Правильное дробное выражение всегда меньше единицы, а неправильное - больше либо равно 1.
Что касается то под этим выражением понимают запись, в которой представлено любое число, знаменатель дробного выражения которого можно выразить через единицу с несколькими нулями. Если дробь правильная, то целая часть в десятичной записи будет равна нулю.
Чтобы записать десятичную дробь, нужно сначала написать целую часть, отделить ее от дробной с помощью запятой и потом уже записать дробное выражение. Необходимо помнить, что после запятой числитель должен содержать столько же цифровых символов, сколько нулей в знаменателе.
Пример . Представить дробь 7 21 / 1000 в десятичной записи.
Записывать в ответе задачи неправильную дробь некорректно, поэтому ее нужно перевести в смешанное число:
Пример . Перевести неправильную дробь в смешанное число: 47 / 5 .
Решение . 47: 5. Неполное частное равняется 9, остаток = 2. Значит, 47 / 5 = 9 2 / 5 .
Иногда нужно представить смешанное число в качестве неправильной дроби. Тогда нужно воспользоваться следующим алгоритмом:
Пример . Представить число в смешанном виде в качестве неправильной дроби: 9 8 / 10 .
Решение . 9 х 10 + 8 = 90 + 8 = 98 - числитель.
Ответ : 98 / 10.
Над обыкновенными дробями можно совершать различные алгебраические операции. Чтобы перемножить два числа, нужно числитель перемножить с числителем, а знаменатель со знаменателем. Причем умножение дробей с разными знаменателямине отличается от произведения дробных чисел с одинаковыми знаменателями.
Случается, что после нахождения результата нужно сократить дробь. В обязательном порядке нужно максимально упростить получившееся выражение. Конечно, нельзя сказать, что неправильная дробь в ответе - это ошибка, но и назвать верным ответом ее тоже затруднительно.
Пример . Найти произведение двух обыкновенных дробей: ½ и 20 / 18 .
Как видно из примера, после нахождения произведения получилась сократимая дробная запись. И числитель, и знаменатель в данном случае делится на 4, и результатом выступает ответ 5 / 9 .
Произведение десятичных дробей довольно сильно отличается от произведения обыкновенных по своему принципу. Итак, умножение дробей заключается в следующем:
Пример . Вычислить произведение двух десятичных дробей: 2,25 и 3,6.
Решение .
Чтобы вычислить произведение двух смешанных дробей, нужно использовать правило умножения дробей:
Пример . Найти произведение 4½ и 6 2 / 5.
Помимо нахождения произведения двух дробей, смешанных чисел, встречаются задания, где нужно помножить на дробь.
Итак, чтобы найти произведение десятичной дроби и натурального числа, нужно:
Чтобы умножить обыкновенную дробь на число, следует найти произведение числителя и натурального множителя. Если в ответе получается сократимая дробь, ее следует преобразовать.
Пример . Вычислить произведение 5 / 8 и 12.
Решение . 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.
Ответ : 7 1 / 2.
Как видно из предыдущего примера, необходимо было сократить получившийся результат и преобразовать неправильное дробное выражение в смешанное число.
Также умножение дробей касается и нахождения произведения числа в смешанном виде и натурального множителя. Чтобы перемножить эти два числа, следует целую часть смешанного множителя умножить на число, числитель помножить на это же значение, а знаменатель оставить неизменным. Если требуется, нужно максимально упростить получившийся результат.
Пример . Найти произведение 9 5 / 6 и 9.
Решение . 9 5 / 6 х 9 = 9 х 9 + (5 х 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.
Ответ : 88 1 / 2.
Из предыдущего пункта вытекает следующее правило. Для умножения дроби десятичной на 10, 100, 1000, 10000 и т. д. нужно передвинуть запятую вправо на столько символов цифр, сколько нулей во множителе после единицы.
Пример 1 . Найти произведение 0,065 и 1000.
Решение . 0,065 х 1000 = 0065 = 65.
Ответ : 65.
Пример 2 . Найти произведение 3,9 и 1000.
Решение . 3,9 х 1000 = 3,900 х 1000 = 3900.
Ответ : 3900.
Если нужно перемножить натуральное число и 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 и т. д., следует передвинуть влево запятую в получившемся произведении на столько символов цифр, сколько нулей находится до единицы. Если необходимо, перед натуральным числом записываются нули в достаточном количестве.
Пример 1 . Найти произведение 56 и 0,01.
Решение . 56 х 0,01 = 0056 = 0,56.
Ответ : 0,56.
Пример 2 . Найти произведение 4 и 0,001.
Решение . 4 х 0,001 = 0004 = 0,004.
Ответ : 0,004.
Итак, нахождение произведения различных дробей не должно вызывать затруднений, разве что подсчет результата; в таком случае без калькулятора просто не обойтись.
Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для умножения двоичных чисел. Пример №1 . Умножить двоичные числа 111 и 101 .| 1 | 1 | 1 | ||
| 1 | 0 | 1 | ||
| = | = | = | = | = |
| 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | ||
| 1 | 1 | 1 | ||
| = | = | = | = | = |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
Пример №2
. Найти двоичное произведение 11011*1100 . Перевести ответ в десятичную систему.
Решение
. Умножение начинаем с младших разрядов: если текущий разряд второго числа равен 0, то везде записываем нули, если 1 - то переписываем первое число.
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | |||
| 1 | 1 | 0 | 0 | ||||
| = | = | = | = | = | = | = | = |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |||
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | |||
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | |||
| = | = | = | = | = | = | = | = |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Пример №3
. 1101.11*101
Будем умножать числа без учета плавающей точки: 110111 x 101
Умножение начинаем с младших разрядов: если текущий разряд второго числа равен 0, то везде записываем нули, если 1 - то переписываем первое число.
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | ||
| 1 | 0 | 1 | |||||
| = | = | = | = | = | = | = | = |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | ||
| = | = | = | = | = | = | = | = |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
Математический-Калькулятор-Онлайн v.1.0
Калькулятор выполняет следующие операции: сложение, вычитание, умножение, деление, работа с десятичными, извлечение корня, возведение в степень, вычисление процентов и др. операции.
Решение:
| Клавиша | Обозначение | Пояснение |
|---|---|---|
| 5 | цифры 0-9 | Арабские цифры. Ввод натуральных целых чисел, нуля. Для получения отрицательного целого числа необходимо нажать клавишу +/- |
| . | точка (запятая) | Разделитель для обозначения десятичной дроби. При отсутствии цифры перед точкой (запятой) калькулятор автоматически подставит ноль перед точкой. Например: .5 - будет записано 0.5 |
| + | знак плюс | Сложение чисел (целые, десятичные дроби) |
| - | знак минус | Вычитание чисел (целые, десятичные дроби) |
| ÷ | знак деления | Деление чисел (целые, десятичные дроби) |
| х | знак умножения | Умножение чисел (целые, десятичные дроби) |
| √ | корень | Извлечение корня из числа. При повторном нажатие на кнопку "корня" производится вычисление корня из результата. Например: корень из 16 = 4; корень из 4 = 2 |
| x 2 | возведение в квадрат | Возведение числа в квадрат. При повторном нажатие на кнопку "возведение в квадрат" производится возведение в квадрат результата Например: квадрат 2 = 4; квадрат 4 = 16 |
| 1 / x | дробь | Вывод в десятичные дроби. В числителе 1, в знаменателе вводимое число |
| % | процент | Получение процента от числа. Для работы необходимо ввести: число из которого будет высчитываться процент, знак (плюс, минус, делить, умножить), сколько процентов в численном виде, кнопка "%" |
| ( | открытая скобка | Открытая скобка для задания приоритета вычисления. Обязательно наличие закрытой скобки. Пример: (2+3)*2=10 |
| ) | закрытая скобка | Закрытая скобка для задания приоритета вычисления. Обязательно наличие открытой скобки |
| ± | плюс минус | Меняет знак на противоположный |
| = | равно | Выводит результат решения. Также над калькулятором в поле "Решение" выводится промежуточные вычисления и результат. |
| ← | удаление символа | Удаляет последний символ |
| С | сброс | Кнопка сброса. Полностью сбрасывает калькулятор в положение "0" |
Сложение целых натуральных чисел { 5 + 7 = 12 }
Сложение целых натуральных и отрицательных чисел { 5 + (-2) = 3 }
Сложение десятичных дробных чисел { 0,3 + 5,2 = 5,5 }
Вычитание целых натуральных чисел { 7 - 5 = 2 }
Вычитание целых натуральных и отрицательных чисел { 5 - (-2) = 7 }
Вычитание десятичных дробных чисел { 6,5 - 1,2 = 4,3 }
Произведение целых натуральных чисел { 3 * 7 = 21 }
Произведение целых натуральных и отрицательных чисел { 5 * (-3) = -15 }
Произведение десятичных дробных чисел { 0,5 * 0,6 = 0,3 }
Деление целых натуральных чисел { 27 / 3 = 9 }
Деление целых натуральных и отрицательных чисел { 15 / (-3) = -5 }
Деление десятичных дробных чисел { 6,2 / 2 = 3,1 }
Извлечение корня из целого числа { корень(9) = 3 }
Извлечение корня из десятичных дробей { корень(2,5) = 1,58 }
Извлечение корня из суммы чисел { корень(56 + 25) = 9 }
Извлечение корня из разницы чисел { корень (32 – 7) = 5 }
Возведение в квадрат целого числа { (3) 2 = 9 }
Возведение в квадрат десятичных дробей { (2,2) 2 = 4,84 }
Увеличить на 15% число 230 { 230 + 230 * 0,15 = 264,5 }
Уменьшить на 35% число 510 { 510 – 510 * 0,35 =331,5 }
18% от числа 140 это { 140 * 0,18 = 25,2 }
