Глава 3 ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ
§ 15. ДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ. МАСШТАБ
1. Пропорциональное деление
На практике часто возникают задачи с требованием поделить некоторую величину в заданном отношении: распределение доходов, приготовления различных смесей или блюд и тому подобное. Чтобы решить такие задачи, надо выполнить пропорциональное деление данной величины.
На рисунке 16 вы видите отрезок A В, точка С делит в отношении 2: 3. Можем составить пропорцию:
Из этой пропорции следует, что
Пусть значение отношений данной пропорции равен
k
, тогда
Отсюда
то есть АС = 2
k
и ВС = 3
k
. Итак, мы осуществили пропорциональное деление отрезка АВ в отношении 2: 3 и выразили длины его частей АС и ВС через число
k
(рис. 17).
Рис. 16
Рис. 17
Запомните!
Число, которое равно значению отношений пропорции, называется коэффициентом пропорциональности.
Коэффициент пропорциональности обозначают буквой k . Иногда приходится пропорционально делить величину более чем на две части. И здесь снова на помощь приходит коэффициент пропорциональности.
Задача 1. Разделите число 60 в отношении 3:4:5 .
Решения. Пусть к - коэффициент пропорциональности. Тогда первая часть данного числа равна 3к, вторая - Ah , а третья - 5к. Поскольку число, которое надо разделить, равен 60, то можем составить уравнение: 3 k + Ah + 5 k = 60. Отсюда: к = 5. Итак, первая часть числа равна 3 ∙ 5 = 15, вторая - 4 ∙ 5 = 20, а третья - 5 ∙ 5= 25.
2. Масштаб
Для изображения на бумаге предметов из окружающего мира нужно менять их реальные размеры: большие предметы доводит вся уменьшать, а маленькие, наоборот, увеличивать. Но для того, чтобы чертеж или план давали правил вне представления о предметах, необходимо изменять их размеры пропорционально. Для этого используют масштаб изображения.
Чаще всего масштаб применяют для создания географических карт.
Запомните!
Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называется масштабом карты.
Обозначают: «М: 1: 1 000 000». Этот зал с означает, что 1 см на карте соответствует 1 000 000 см на местности.
Задача 2 . Расстояние между Черкассами и Харьковом на карте равна 4,1 см. Найдите расстояние между этими городами на местности, если масштаб карты 1:10 000 000.
Решения.
На карте: 4,1 см -1см
На местности: х -10000000 см
Тогда отношение длины отрезка на карте к длине отрезка на местности: 4,1: х. Значение данного отношения равен значению масштаба карты, следовательно, 4,1: х=1:10 000 000.
Отсюда
Следовательно, расстояние от Черкасс до Харькова - 410 км.
Как записать масштаб изображения, если на нем нужно увеличить реальные размеры предмета например, в 1000 раз. В таком случае масштаб записывают наоборот: 1000: 1. Такой масштаб понадобится, когда нужно изобразить, например, детали часов
Узнайте больше
1. Слово «коэффициент» происходит от латинского Coefficiens , что состоит из двух слов: Со - «вместе »и efficiens - «производящий». Обозначает множитель, который обычно выражается числом. Термин ввел Ф. Вієт.
2. Слово «масштаб» происходит от немецкого Mabstab - «линейка», что состоит из двух слов: Ма b - «мера и Stab - «веха».
ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ
1. Какие задачи относят к задачам на пропорциональное деление? Приведите примеры.
2. Что такое коэффициент пропорциональности?
3. Как решают задачи на пропорциональное деление?
4. Что называется масштабом карты?
5. Как решают задачи с применением масштаба?
РЕШИТЕ ЗАДАЧИ
629". Назовите части отрезка AB (рис. 18-19).
Рис. 18
Ma л . 19
630". Правильно. что коэффициент пропорциональности равен:
1) пропорции; 2) отношению; 3) значению отношения;
4) значению отношений пропорции?
631". Правильного масштаб карты - это:
1) число; 2) величина; 3) выражение?
632". Что показывает масштаб карты:
1)1:100 000; 2)1:5 000000; 3)1:500; 4)1:2000?
633". Что показывает масштаб изображения:
1)4:1; 2)10:1; 3)50:1; 4)400:1?
Рис. 20
Рис. 21
Рис. 22
Рис. 23
634°. Какой коэффициент пропорциональности закрашенной и незакрашенной частей: 1) шестиугольника (рис. 20); 2) треугольника (рис. 21)?
635°. Какой коэффициент пропорциональности: 1) закрашенной и незакрашенной частей квадрата (рис. 22); 2) двух частей отрезка MN (рис. 23)?
636°. Для нахождения частей, на которые разделен число 21 в отношении 3: 4, Сережа составил уравнения;
1)3 x + 4х = 7; 2)3 + 4 = 21х; 3) 3х + 4х = 21.
Правильно ли он это сделал?
637°. Поделите число 24 в отношении:
1)1:3; 2)3:5; 3) 1: 2: 5; 4) 2: 2: 4.
638°. Разделите число 30 в отношении:
1)1:2; 2)3: 4: 8.
639°. Два числа относятся, как 5: 3. Найдите эти числа, если;
1) их сумма равна 40; 2) их разность равна 16.
640°. Два числа относятся, как 4: 1. Найдите эти числа, если:
1) их сумма равна 25; 2) их разность равна 21.
641°. Отрезок АВ длиной 18 см точкой С разделен в отношении 2: 7. Найдите длину каждой части.
642°. Отрезок АС длиной 24 см точкой с разделен в отношении: 5. Найдите длину каждой части.
643°. Два отреза одинаковой ткани стоят 320 грн. Длина первого отрезка составляет 5 м, а второго - 3 м. Сколько стоит каждый отрез ткани?
644°. Две школы закупили билеты в театр и заплатили за них 12 200 грн. Сколько заплатила каждая школа, если театр посетили 286 учащихся первой школы и 324 ученики - второй?
645°. Латунь представляет собой сплав меди и олова. Сколько граммов меди и сколько граммов олова содержит 270 г латуни, если для сплава нужно взять 1 часть олова и 2 части меди?
646°. Для сплава берут одну часть свинца и три части олова. Сколько граммов свинца и олова содержится в 600 г сплава?
647°. Каким является масштаб карты, если длина отрезка АВ:
1) на карте в 20 000 раз меньше, чем на местности;
2) на местности в 400 раз больше, чем на карте?
648°. Каким является масштаб карты, если длина отрезка CD .
1) на карте в 50 000 раз меньше, чем на местности;
2) на местности в 1000 раз больше, чем на карте?
649°. Какой будет длина отрезка АВ на местности, если отрезок АВ = 1 см изображен на карте с масштабом 1: 100 000?
650 Какой будет длина отрезка CD на местности, если отрезок CD = 1 см изображен на карте с масштабом 1:10 000?
651°. Масштаб карты 1: 500 000. Определите расстояние на местности, если на карте оно изображено отрезком:
1)1см; 2) Зсм; 3) 4,5 см; 4) 6 см 2 мм.
652°. Масштаб карты 1: 4 000 000. Определите расстояние на местности, если на карте оно изображено отрезком:
1) 2 см; 2) 5 см 5 мм.
653°. Расстояние между Киевом и Винницей составляет 260 км. Чему равно расстояние между этими городами на карте, масштаб которой:
1)1: 10000000; 2)1: 4 000000?
654°. Расстояние между Донецком и Житомиром составляет 880 км. Чему равно расстояние между этими городами на карте, масштаб которой 1: 10 000 000?
655. Отрезок ВС точкой А разделен в отношении 3: 8, причем одна из частей на 5 см больше другой. Найдите длину каждой части.
656. Отрезок АВ точкой С разделен в отношении 4: 7, причем одна из частей на 9 см меньше другой. Найдите длину каждой части.
657. Отрезок CD длиной 48 см точками А и В разделили в отношении 5:3:4. Найдите длину каждой части.
658. Отрезок АВ длиной 36 см точками С и D разделен в отношении 4:3:2. Найдите длину каждой части.
659. Некоторое расстояние пассажирский поезд преодолевает за 10 ч 30 мин, а товарный - за 12 часов. Какое расстояние проедут до встречи поезда, если они отправятся одновременно из двух городов, расстояние между которыми 465 км?
660. Первый спортсмен пробегает 100 м за 12 с, а второй - за 13 сек. Сколько метров пробежит каждый спортсмен до встречи, если они начнут бег одновременно навстречу друг другу, разойдясь на 200 м?
Рис. 24
661. Первая машинистка может напечатать 90 страниц за час, а вторая - за 7 час. Как распределить машинисткам между собой 90 страниц, чтобы они напечатали их в кратчайший срок?
662. Первая бригада может изготовить 70 деталей за 4 ч, а вторая - за 3 часа. Как распределить бригадам между собой 70 деталей, чтобы они выполнили задачу в кратчайший срок?
663. Для приготовления строительного раствора на 2 части цемента берут 2 части песка и 0,8 частей воды. Сколько килограммов строительного раствора получат, если возьмут 100 кг цемента?
664. Для приготовления напитка берут 2 части вишневого сока, Из части воды и 1 часть меда. Сколько напитка получат, если возьмут 400 г вишневого сока?
665. Огород имеет форму прямоугольника, длина которого составляет 360 м, а ширина - 240 м. Какие размеры будет иметь изображение этого огорода на плане, выполненном в масштабе 1: 500?
666. План комнаты имеет форму прямоугольника со сторонами 20 мм и 30 мм. Какие размеры имеет комната, если план выполнен в масштабе 1:300?
671 *. Три числа относятся, как
Найдите эти числа, если известно, что первое число меньше половины второго числа на 32.
672*. Определите масштаб плана, если лес площадью 4 га на плане занимает 1 см2.
ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ
673. Для пошива платья Татьянка сделала выкройку по чертежу в журнале. Длина изделия на выкройке платья равняется 75 см. Вычислите масштаб чертежа в журнале, если на нем длина платья равна 15 см.
674. Длина детали - 30 мм. Какой использовали масштаб, если на чертеже длина детали равна 60 мм?
675. Начертите в масштабе 1: 50 план:
1) класс; 2) одной из комнат своей квартиры.
ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ
676. Вычислите устно, какое число нужно вписать в последнюю клеточку цепочки.
677. Найдите:
678. Велосипедист и пешеход отправились одновременно из села на станцию. Велосипедист ехал со скоростью 18 км/ч и через полчаса обогнал пешехода на 7 км. С какой скоростью шел пешеход?
667. По карте (рис. 24) определите расстояние между: 1) Николаевом и Ровным; 2) Киевом и Ужгородом; 3) Черниговом и Одессой; 4) Луганском и Черновцами.
668. По карте (рис. 24) определите расстояние между: 1) Черкассами и Львовом; 2) Харьковом и Ивано-Франковском.
669*. Сумма четырех чисел равна 4,2. Первые три числа относятся, как 1,2: 4: 0,8, а четвертое число составляет 0,6 от второго. Найдите первое число.
670*. Число 144 разделен на три части х, у, z так, что х: у = 3: 2, у: z = 4: 5. Найдите части данного числа.
6 класс
УРОК № 6. Глава 1 . Отношения, пропорции, проценты (26 часов)
Тема .
Цель . Продолжить формировать навыки деления числа в данном отношении.
Ход урока.
Организационный момент.
Анализ самостоятельной работы.
Проверка домашнего задания.
Устное решение упражнений.
Мультимедийная доска: 1 ученик. Тестовые задания. (Эл. приложение к уч. Математика 6. Никольский. Каталог. Интерактивные модели. Отношение чисел и натуральные числа (10 заданий))
9 – 10 правильных ответов – «5»;
6 – 8 правильных ответов – «4»;
3 – 5 правильных ответов – «3».
Решение упражнений. (Задание на карточке)
134. Разделите число 56 на две части в отношении 3: 4.
1) 
;
2) 
. Ответ
: 24; 32.
135. Разделите число 420 на три части в отношении 2: 3: 7.
1) 
;
2) ;
3) . Ответ : 70; 105; 245.
136. Сплав состоит из 5 частей меди и 8 частей цинка. Сколько надо взять килограмм цинка, чтобы получить 520 кг сплава?
Медь – ? кг, 5 частей
520 кг
Цинк – ? кг, 8 частей
Решение.
(кг) – цинка надо взять. Ответ
: 320 кг.
137. Периметр треугольника равен 114 см, а длины сторон относятся как 5: 6: 8. Найдите стороны треугольника.
а – ? см
b – ? см 5: 6: 8 Р = 114 см
c – ? см
Решение.
1) 
(см) – а;
2) 
(см) – b
;
3) 
(см) – с. Ответ
: 30 см; 36 см; 48 см.
Объяснение нового материала.
Деление числа в данном отношении.
Задача 3 . Первая машинистка может перепечатать 90 страниц за 10 ч, а вторая за 15 ч. Как распределить между ними 90 страниц, чтобы они перепечатали их в кратчайшие сроки?
Пр.тр., стр./ч
t , ч
V , стр.
1 машинистка
кратчайш.
?
2 машинистка
?
Решение.
1) 
, 
;
2) 
, 
;
3) 
- отношение 
к 
;
4) 
(стр.) – надо дать 1 машинистке;
5) 
(стр.) – надо дать 2 машинистке.
Ответ : 54 стр.; 36 стр.
Решение упражнений.
Уч.с.13 № 39 (а,в). Первая машинистка перепечатает 10 страниц в час, а вторая – 8 страниц в час. Как разделить между ними 90 страниц, чтобы они закончили работу одновременно?
Пр.тр., стр./ч
t , ч
V , стр.
1 машинистка
одноврем.
? Ответ : 50 стр.; 40 стр.
Подведение итогов урока.
Домашнее задание. § 1.3 (выучить теорию). № 36(а), 40, 12(г,д), 15(в) (Обязательно прокомментировать. Время перевести в часы).
К задаче 40. О поташе. Электронное приложение. Каталог. Это интересно. Поташ.
Электронное приложение. Каталог. Контроль. Тест к пункту 1.1.
Деление является одним из четырех самых распространенных арифметических действий. Редко встречаются комплексные расчеты, которые могут обойтись без него. Программа Excel имеет широкий функционал по использованию данного арифметического действия. Давайте выясним, какими способами можно выполнить деление в Экселе.
В Microsoft Excel деление можно произвести как при помощи формул, так и используя функции. Делимым и делителем при этом выступают числа и адреса ячеек.
Лист Эксель можно использовать как своеобразный калькулятор, просто деля одно число на другое. Знаком деления выступает слеш (обратная черта) – «/» .
После этого Эксель рассчитает формулу и в указанную ячейку выведет результат вычислений.
Если вычисление производится с несколькими знаками, то очередность их выполнения производится программой согласно законам математики. То есть, прежде всего, выполняется деление и умножение, а уже потом – сложение и вычитание.
Как известно, деление на 0 является некорректным действием. Поэтому при такой попытке совершить подобный расчет в Экселе в ячейке появится результат «#ДЕЛ/0!» .
Также в Excel можно делить данные, находящиеся в ячейках.
Можно также комбинировать, в качестве делимого или делителя используя одновременно и адреса ячеек и статические числа.
Для расчета в таблицах часто требуется значения одного столбца разделить на данные второй колонки. Конечно, можно делить значение каждой ячейки тем способом, который указан выше, но можно эту процедуру сделать гораздо быстрее.
Как видим, после этого действия будет полностью выполнена процедура деления одного столбца на второй, а результат выведен в отдельной колонке. Дело в том, что посредством маркера заполнения производится копирование формулы в нижние ячейки. Но, с учетом того, что по умолчанию все ссылки относительные, а не абсолютные, то в формуле по мере перемещения вниз происходит изменение адресов ячеек относительно первоначальных координат. А именно это нам и нужно для конкретного случая.
Бывают случаи, когда нужно разделить столбец на одно и то же постоянное число – константу, и вывести сумму деления в отдельную колонку.
Как видим, на этот раз деление тоже выполнено корректно. В этом случае при копировании данных маркером заполнения ссылки опять оставались относительными. Адрес делимого для каждой строки автоматически изменялся. А вот делитель является в данном случае постоянным числом, а значит, свойство относительности на него не распространяется. Таким образом, мы разделили содержимое ячеек столбца на константу.
Но, что делать, если нужно разделить столбец на содержимое одной ячейки. Ведь по принципу относительности ссылок координаты делимого и делителя будут смещаться. Нам же нужно сделать адрес ячейки с делителем фиксированным.
После этого результат по всему столбцу готов. Как видим, в данном случае произошло деление колонки на ячейку с фиксированным адресом.
Деление в Экселе можно также выполнить при помощи специальной функции, которая называется ЧАСТНОЕ . Особенность этой функции состоит в том, что она делит, но без остатка. То есть, при использовании данного способа деления итогом всегда будет целое число. При этом, округление производится не по общепринятым математическим правилам к ближайшему целому, а к меньшему по модулю. То есть, число 5,8 функция округлит не до 6, а до 5.
Посмотрим применение данной функции на примере.
После этих действий функция ЧАСТНОЕ производит обработку данных и выдает ответ в ячейку, которая была указана в первом шаге данного способа деления.
Эту функцию можно также ввести вручную без использования Мастера. Её синтаксис выглядит следующим образом:
ЧАСТНОЕ(числитель;знаменатель)
Как видим, основным способом деления в программе Microsoft Office является использование формул. Символом деления в них является слеш – «/» . В то же время, для определенных целей можно использовать в процессе деления функцию ЧАСТНОЕ . Но, нужно учесть, что при расчете таким способом разность получается без остатка, целым числом. При этом округление производится не по общепринятым нормам, а к меньшему по модулю целому числу.
Цель: формировать навык деления величин в данном отношении.
ХОД УРОКА
I. Организационный момент
II. Актуализация знаний
Предложить учащимся закончить фразу:
III. Мотивация
Привести примеры, когда необходимо умение
делить какую-либо величину в данном отношении.
Учитель:
Я предлагаю Вам решить свою
задачу:
Задача. В классе 24 ученика. Из них 10 мальчиков и 14 девочек. В каком отношении находится количество мальчики к количеству девочек?
Ученики:
10: 14, или 5: 7.
Учитель:
Количество мальчиков ко всему
количеству ребят в классе.
Ученики:
10: 24, или 5: 12
Учитель:
Количество девочек ко всему
количеству ребят в классе.
Ученики:
14: 24, или 7: 12
Учитель:
Прекрасно! А как узнать сколько
учащихся класса получили за работу «пять» если
известно, что таких учеников шестая часть?
Ученики:
24: 6 = 4 (учащихся)
Учитель:
Как узнать, сколько учащихся
класса получили «четыре», если известно, что
количество таких ребят относится к общему
количеству учащихся как 2:6?
Ученики
(после обсуждения): Мы не знаем,
как разделить величину в данном отношении.
IV. Целеполагание
Учитель:
Значит, мы должны научиться
делить величину в данном отношении.
Записываем тему урока в тетрадь.
V. Учебные действия
Задача.
Отец с сыном собрали 18 кг
яблок, причем отец собрал в 2 раза больше
яблок, чем сын. Сколько килограммов яблок
собрал каждый из них?
Решим задачу.
Поскольку отец собрал в 2 раза больше яблок, то
количество собранных отцом и сыном яблок
находится в отношении 2: 1 . Значит, нужно 18 кг
разделить на две части, отношение которых равно 2: 1. Всего имеется 2 + 1 = 3 части, тогда на каждую
часть приходится 18: 3 = 6 (кг) яблок.
Поскольку сын собрал одну часть, то на его долю
приходится 6 * 1 = 6 (кг) яблок. Отец собрал 2 части, то
есть 6 * 2 = 12 (кг) яблок.
– Скажите, какие действия мы последовательно
выполняли, чтобы решить задачу?
Учитель.
Рассмотрим еще один пример.
Разобрать пример из учебника и также выделить
последовательность действий, которые необходимо
было совершить, чтобы решить задачу.
Учитель.
Мы рассмотрели решение двух
задач. Что общего в этих задачах
Ученики.
Для их решения необходимо было
разделить величину в данном отношении.
Учитель.
Сравните действия, которые мы
выполняли, чтобы разделить величины в данном
отношении.
Ученики. Они похожи.
Учитель. Попробуйте вывести алгоритм деления
величины в данном отношении
Алгоритм
Чтобы разделить число в отношении а : в , нужно:
– А теперь, работая в группах, придумайте сами задачи, которые решались бы с помощью данного алгоритма.
VI. Контроль
Заполните таблицу.
Учитель: Как разделить величину в данном отношении. Необходимо, чтобы учащиеся несколько раз проговорили этот алгоритм (можно своими словами).
VII. Оценка
Самооценка с помощью пятибалльной шкалы.
Вам прислали отчет, в котором "добрая душа" для целей презентации разделила все числа на тысячу, а вам надо вставить его данные в свой отчет, в котором данные содержатся с точностью до копеек? Скорее всего, этот коллега, просто не знал о том, что презентация данных возможна в тысячах с помощью формата (читайте подробнее ). Как умножить большой массив данных на тысячу, миллион, миллиард или даже на сто тридцать четыре? Об этом в данной статье.
Итак, дано :
Некоторый массив данных, который мы хотим преобразовать. Число на которое мы хотим умножить или разделить - обычно это будут тысяча, миллион или миллиард.
Что сделать, чтобы умножить каждое число в массиве на 1000.
(1) выделить ячейку со значением 1000 (в данном примере D10),
(2) нажать Копировать (или Ctrl + C, или Ctrl + Insert, как вам больше нравится) ,
(3) выделить диапазон с числами, которые необходимо умножить на 1000 (скопированное число) - в данном примере B5:D7,
(4) На ленте нажать "Вставить..."("Paste...") => "Специальная вставка..." ("Paste special...")
(5) В появившемся окне выберите в секции Operations (вычисления) необходимое действие (в данном случае - умножить/multiply) и нажмите Ok.
Вуаля! Все числа массива перемножены!
Настоятельно не рекомендую использовать такую практику для уменьшения чисел в 1000 раз для представления в отчете - вычисления становятся неудобными и громоздкими, требуется следить за умножениями и делениями на 1000. Чтобы избежать этой проблемы, используйте форматирование, которое позволяет переводить представляемые данные в другие единицы измерения без осложнений для вычислений. Подробнее о форматах для презентации данных читайте .
Я уже писал про то, что функция VLOOKUP (ВПР), наверное, самая полезная функция после простых арифметических операций …
Если вы часто работаете с большими файлами, которые производят большое количество вычислений, зависящих друг от друга, о…
В Excel отсутствует стандартные диаграммы типа Waterfall. Поэтому для создания диаграмм этого типа обычно используют гис…
Часто бывает, что мы работаем с большими таблицами, которые рассчитывают в конечном итоге 1-2 показателя, но зависят от …
Часто возникает необходимость сравнить основные финансово-экономические показатели с планируемыми, например, для целей о…
"Я никогда не пользовался Excel на работе, но я видел, как другие люди делают в нем довольно красивые диаграммы и график…
Знаете ли вы, что для того, что для возведения в степень числа в Excel есть специальный символ ^ (на шестерке в английск…
Ранее на этом сайте я публиковал статью о том, как построить достоверную статистическую корреляцию стандартными средства…
